Задача № 216346
Три окружности с центрами A, B и C, касающиеся друг друга и прямой l, расположены так, как показано на рисунке. Пусть a, b и c – радиусы окружностей с центрами A, B и C соответственно. Докажите, что .
Олимпиадные задачи по математике — страница 26
Найдите задачу для себя, урока или математического кружка.
Задача № 216345
Две окружности проходят через вершину угла и точку его биссектрисы. Докажите, что отрезки, высекаемые ими на сторонах угла, равны.
Задача № 216344
Треугольник BHC, где H – ортоцентр треугольника ABC, достроен до параллелограмма BHCD. Докажите, что ∠BAD = ∠CAH.
Задача № 216343
Точки A1, B1 и C1 – основания высот треугольника ABC. Известно, что A1B1 = 13, B1C1 = 14, A1C1 = 15. Найдите площадь треугольника ABC.
Задача № 216342
Отрезки, соединяющие основания высот остроугольного треугольника, образуют прямоугольный треугольник с гипотенузой, равной 10. Найдите радиус окружности, описанной около исходного треугольника.
Задача № 216341
Точка M расположена на стороне BC параллелограмма ABCD, причём BM : MC = 3 : 2. Отрезки AM и BD пересекаются в точке K. Известно, что площадь параллелограмма равна 1. Найдите площадь четырёхугольника CMKD.
Задача № 216340
На стороне BC и на продолжении стороны AB за вершину B треугольника ABC расположены точки M и K соответственно, причём BM : MC = 4 : 5 и BK : AB = 1 : 5. Прямая KM пересекает сторону AC в точке N. Найдите отношение CN : AN.
Задача № 216339
На сторонах AB и AC треугольника ABC расположены точки N и M соответственно, причём AN : NB = 3 : 2, AM : MC = 4 : 5. Прямые BM и CN пересекаются в точке O. Найдите отношения OM : OB и ON : OC.
Задача № 216338
На сторонах AB и BC треугольника ABC расположены точки M и N соответственно, причём AM : MB = 3 : 5, BN : NC = 1 : 4. Прямые CM и AN пересекаются в точке O. Найдите отношения OA : ON и OM : OC.
Задача № 216337
На сторонах AD и CD параллелограмма ABCD расположены точки M и N соответственно, причём AM : MD = 2 : 7, CN : ND = 3 : 5. Прямые CM и BN пересекаются в точке O. Найдите отношения ON : OB и OC : OM.
Задача № 216336
Найдите радиусы вписанной и вневписанных окружностей треугольника со сторонами 5, 12 и 13.
Задача № 216335
Две вершины квадрата расположены на гипотенузе равнобедренного прямоугольного треугольника, а две другие – на катетах. Найдите сторону квадрата, если гипотенуза равна a.
Задача № 216334
В остроугольном треугольнике ABC (AB < BC) проведены высоты AM и CN. Точка O – центр описанной окружности треугольника ABC. Известно, что ∠ABC = β, а площадь четырёхугольника NOMB равна S. Найдите сторону AC.
Задача № 216333
Около треугольника ABC описана окружность. Диаметр AD пересекает сторону BC в точке E, при этом AC = EC и AE : DE = m. Найдите отношение BE : CE.
Задача № 216332
На сторонах AB и BC параллелограмма ABCD расположены точки N и M соответственно, причём AN : NB = 3 : 2, BM : MC = 2 : 5. Прямые AM и DN пересекаются в точке O. Найдите отношения OM : OA и ON : OD.
Задача № 216331
Точки M и N расположены соответственно на диагоналях BD и AC трапеции ABCD, причём BM : MD = CN : NA = 1 : 8. Найдите MN, если известно, что основания AD и BC трапеции равны a и b соответственно.
Задача № 216330
Точки P и Q расположены соответственно на диагоналях AC и BD трапеции ABCD, причём CP : AP = BQ : DQ = 5 : 2. Найдите PQ, если известно, что основания AD и BC трапеции равны a и b соответственно.
Задача № 216329
На диагоналях AC и BD трапеции ABCD с основаниями BC = a и AD = b расположены точки K и L соответственно, причём CK : KA = BL : LD = 7 : 4. Найдите KL.
Задача № 216328
На боковых сторонах AB и CD трапеции ABCD расположены точки M и N соответственно, причём BM : AM = CN : ND = 3 : 5. Найдите MN, если BC = a и AD = b.
Задача № 216327
В ромб ABCD вписана окружность. Прямая, касающаяся этой окружности в точке P, пересекает стороны AB, BC и продолжение стороны AD соответственно в точках N, Q и M, причём MN : NP : PQ = 7 : 1 : 2. Найдите углы ромба.
Задача № 216326
В пространстве даны точки A(-1;2;0), B(5;2;-1), C(2;-1;4)и D(-2;2;-1). Найдите: а) расстояние от вершины D тетраэдра ABCD до точки пересечения медиан основания ABC ; б) уравнение плоскости ABC ; в) высоту тетраэдра, проведённую из вершины D ; г) угол между прямыми BD и AC ; д) угол между гранями ABC и ACD ; е) расстояние между прямыми BD и AC .
Задача № 216325
Дана четырёхугольная пирамида, в которую можно вписать сферу, причём центр этой сферы лежит на высоте пирамиды. Докажите, что в основания пирамиды можно вписать окружность.
Задача № 216324
Все грани треугольной пирамиды — равные равнобедренные треугольники, а высота пирамиды совпадает с высотой одной из её боковых граней. Найдите объём пирамиды, если расстояние между наибольшими противоположными ребрами равно 1.
Задача № 216323
В треугольной пирамиде каждое боковое ребро равно 1, а боковые грани равновелики. Найдите объём пирамиды, если известно, что один из двугранных углов при основании — прямой.
Задача № 216322
Сторона основания ABC пирамиды TABC равна 4, боковое ребро TA перпендикулярно плоскости основания. Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью, проходящей через середины рёбер AC и BT параллельно медиане BD грани BCT , если известно, что расстояние от вершины T до этой плоскости равно .
0–0 из 23247