Олимпиадная задача по стереометрии: площадь сечения пирамиды TABC через середины рёбер

Плоскость грани BCT проходит через прямую BD , параллельную секущей плоскости, значит, она пересекает секущую плоскость по прямой, проходящей через середину N ребра BT парараллельно BD . Эта прямая пересекает ребро CT в его середине K , поэтому = .

Пусть прямая, проходящая через середину M ребра AC и точку K , пересекает прямую AT в точке P , а прямая PN пересекает ребро AB в точке L . Тогда четырёхугольник MKNL — сечение, о котором говорится в условии задачи. По теореме Менелая · · =1, или · · =1, откуда = . Аналогично, · · =1, или · · =1, откуда =3. Пусть K1и N1— ортогональные проекции точек K и N на плоскость основания ABC . Тогда MK1N1L — ортогональная проекция сечения MKLN на плоскость основания. Если S_MKLN = S , а S_MK1LN1=s , то S= , где α — угол между плоскостями сечения и основания пирамиды. Известно, что

=, =, == , ==,

поэтому

s=S_{Δ AML}-S_{Δ AK}1N1 = · S_{Δ ABC}- · S_{Δ ABC}=

=(· -· ) =· 4=.

Пусть AE — перпендикуляр, опущенный из точки A на ML . Тогда по теореме о трёх перпендикулярах PE ML , значит, AEP — линейный угол двугранного угла между секущей плоскостью и плоскостью основания пирамиды, т.е. AEP=α . Кроме того, перпендикуляры TH и AF , опущенные из точек T и A на прямую PE , — перпендикуляры к секущей плоскости. Из подобия треугольников PHT и PFA находим, что AF=TH· =· 3= . По теореме косинусов

ML== =,

а т.к.

S_{Δ AML}= · S_{Δ ABC}= · 4=,

то

AE = =.

Из прямоугольного треугольника AFE находим, что

sin α = = = ,

поэтому cos α = = . Следовательно,

S= = = .