Задача № 215363
Существуют ли три попарно различных ненулевых целых числа, сумма которых равна нулю, а сумма тринадцатых степеней которых является квадратом некоторого натурального числа?
Олимпиадные задачи по теме «Методы» для 8 класса
Найдите задачу для урока, кружка или самостоятельной работы.
Задача № 211863
Дано конечное множество простых чисел P. Докажите, что найдётся такое натуральное число x , что оно представляется в виде x = ap + bp (с натуральными a, b) при всех p ∈ P и не представляется в таком виде для любого простого p ∉ P.
Задача № 211788
Существуют ли такие простые числа p1, p2, ..., p2007, что делится на p2, делится на p3, ..., делится на p1?
Задача № 210197
Найдите все такие пары (x, y) натуральных чисел, что x + y = an, x² + y² = am для некоторых натуральных a, n, m.
Задача № 210183
Найдите все такие пары (a, b) натуральных чисел, что при любом натуральном n число an + bn является точной (n+1)-й степенью.
Задача № 210169
Может ли в наборе из шести чисел (a, b, c, a²/b, b²/c, c²/a}, где a, b, c – положительные числа, оказаться ровно три различных числа?
Задача № 210143
В вершинах кубика написали числа от 1 до 8, а на каждом ребре – модуль разности чисел, стоящих в его концах. Какое наименьшее количество различных чисел может быть написано на ребрах?
Задача № 210040
Существуют ли различные взаимно простые в совокупности натуральные числа a, b и c, большие 1 и такие, что 2a + 1 делится на b, 2b + 1 делится на c, а 2c + 1 делится на a?
Задача № 210000
Существуют ли действительные числа a , b и c такие, что при всех действительных x и y выполняется неравенство |x+a|+|x+y+b|+|y+c|>|x|+|x+y|+|y|?
Задача № 209823
Найдите наименьшее натуральное число, не представимое в виде , где a, b, c, d – натуральные числа.
Задача № 207818
Докажите, что существует бесконечно много таких натуральных чисел n, что число n представимо в виде суммы квадратов двух натуральных чисел, а числа n – 1 и n + 1 – нет.
Задача № 205049
Найдите какие-нибудь четыре попарно различных натуральных числа a, b, c, d, для которых числа a² + 2cd + b² и c² + 2ab + d² являются полными квадратами.
Задача № 198497
Натуральные числа a, b, c, d таковы, что наименьшее общее кратное этих чисел равно a + b + c + d. Докажите, что abcd делится на 3 или на 5 (или на то и другое).
Задача № 198311
Докажите, что существует бесконечно много таких троек чисел n – 1, n, n + 1, что: a) n представимо в виде суммы двух квадратов натуральных (целых положительных) чисел, а n – 1 и n + 1 – нет; б) каждое из трёх чисел представимо в виде суммы двух квадратов натуральных чисел.
Задача № 198282
а) Существуют ли четыре таких различных натуральных числа, что сумма каждых трёх из них есть простое число? б) Существуют ли пять таких различных натуральных чисел, что сумма каждых трёх из них есть простое число?
Задача № 198263
Докажите, что число вида a0...09 – не полный квадрат (при любом числе нулей, начиная с одного; a – цифра, отличная от 0).
Задача № 198252
Докажите, что число 40...09 – не полный квадрат (при любом числе нулей, начиная с 1).
Задача № 198129
Пусть m, n и k – натуральные числа, причём m > n. Какое из двух чисел больше: или (В каждом выражении k знаков квадратного корня, m и n чередуются.)