Задача № 216982
На поверхности куба проведена замкнутая восьмизвенная ломаная, вершины которой совпадают с вершинами куба. Какое наименьшее количество звеньев этой ломаной может совпасть с рёбрами куба?
Олимпиадные задачи по теме «Вспомогательная раскраска» для 1-8 класса - сложность 2 с решениями
Найдите задачу для урока, кружка или самостоятельной работы.
Задача № 216854
Шесть кружков последовательно соединили отрезками. На каждом отрезке записали некоторое число, а в каждом кружке – сумму двух чисел, записанных на входящих в него отрезках. После этого стёрли все числа на отрезках и в одном из кружков (см. рис.). Можно ли найти число, стёртое в кружке?
Задача № 216845
В клетках квадрата 3×3 расставлены числа (рис. слева). Разрешается к числам, стоящим в двух соседних клетках, одновременно прибавлять одно и то же число, не обязательно положительное. Можно ли в какой-то момент получить такой квадрат с числами, как на рисунке справа? (Клетки считаются соседними, если имеют общую сторону.)
Задача № 216486
Какое наибольшее количество клеток можно отметить на шахматной доске так, чтобы с каждой из них на любую другую отмеченную клетку можно было пройти ровно двумя ходами шахматного коня?
Задача № 216065
Деревянный брусок тремя распилами распилили на восемь меньших брусков. На рисунке у семи брусков указана их площадь поверхности. Какова площадь поверхности невидимого бруска?
Задача № 216029
Концы N хорд разделили окружность на 2N дуг единичной длины. Известно, что каждая из хорд делит окружность на две дуги чётной длины. Докажите, что число N чётно.
Задача № 216025
В пифагоровой таблице умножения выделили прямоугольную рамку толщиной в одну клетку, причём каждая сторона рамки состоит из нечётного числа клеток. Клетки рамки поочередно раскрасили в два цвета – чёрный и белый. Докажите, что сумма чисел в чёрных клетках равна сумме чисел в белых клетках. Пифагорова таблица умножения – это клетчатая таблица, в которой на пересечении m-й строки и n-го столбца стоит число mn (для любых натуральных m и n).
Задача № 215493
На столе в виде треугольника выложены28монет одинакового размера (рис.). Известно, что суммарная масса любой тройки монет, которые попарно касаются друг друга, равна10 г. Найдите суммарную массу всех18 монет на границе треугольника.
Задача № 215378
На краю круглого вращающегося стола через равные промежутки стояли 30 чашек с чаем. Мартовский Заяц и Соня сели за стол и стали пить чай из каких-то двух чашек (не обязательно соседних). Когда они допили чай, Заяц повернул стол так, что перед каждым опять оказалось по полной чашке. Когда и эти чашки опустели, Заяц снова повернул стол (возможно на другой угол), и снова перед каждым оказалась полная чашка. И так продолжалось до тех пор, пока весь чай не был выпит. Докажите, что если бы Заяц всегда поворачивал стол так, чтобы его новая чашка стояла через одну от предыдущей, то им бы тоже удалось...
Задача № 203892
Куб размером3×3×3 состоит из 27 единичных кубиков. Можно ли побывать в каждом кубике по одному разу, двигаясь следующим образом: из кубика можно пройти в любой кубик, имеющий с ним общую грань, причём запрещено ходить два раза подряд в одном направлении?
Задача № 203868
Отметьте на доске 8×8 несколько клеток так, чтобы любая (в том числе и любая отмеченная) клетка граничила по стороне ровно с одной отмеченной клеткой.
Задача № 203736
Можно ли из 13 кирпичей1×1×2 сложить куб3×3×3 с дыркой1×1×1 в центре?
Задача № 202984
Можно ли ходом коня обойти все клетки шахматной доски, начав с клеткиа1, закончив в клеткеh8и на каждой клетке доски побывав ровно один раз?
Задача № 202883
На шахматной доске 8×8 расставлено наибольшее возможное число слонов так, что никакие два слона не угрожают друг другу. Доказать, что число всех таких расстановок есть точный квадрат.
Задача № 198370
На клетчатой доске 5×5 расставили максимальное число шахматных коней так, чтобы они не били друг друга. Докажите, что такая расстановка единственна.
Задача № 198261
Четыре кузнечика сидели в вершинах квадрата. Каждую секунду один из кузнечиков прыгает через другого в симметричную точку (если A прыгает через B в точку A1, то векторы и равны). Докажите, что три кузнечика не могут оказаться а) на одной прямой, параллельной стороне квадрата; б) на одной произвольной прямой.
Задача № 198166
Муравей ползает по проволочному каркасу куба, при этом он никогда не поворачивает назад. Может ли случиться, что в одной вершине он побывал 25 раз, а в каждой из остальных – по 20 раз?
Задача № 198074
В нашем распоряжении имеются "кирпичи", имеющие форму, которая получается следующим образом: приклеиваем к одному единичному кубу по трём его граням, имеющим общую вершину, ещё три единичных куба, так что склеиваемые грани полностью совпадают. Можно ли сложить прямоугольный параллелепипед 11×12×13 из таких "кирпичей"?
Задача № 198067
Квадрат 8×8 клеток выкрашен в белый цвет. Разрешается выбрать в нём любой прямоугольник из трёх клеток и перекрасить все их в противоположный цвет (белые в чёрный, чёрные – в белый). Удастся ли несколькими такими операциями перекрасить весь квадрат в чёрный цвет?
Задача № 198064
Доска 100×100 разбита на 10000 единичных квадратиков. Один из них вырезали, так что образовалась дырка. Можно ли оставшуюся часть доски покрыть равнобедренными прямоугольными треугольниками с гипотенузой длины 2 так, чтобы их гипотенузы шли по сторонам квадратиков, а катеты – по диагоналям и чтобы треугольники не налегали друг на друга и не свисали с доски?
Задача № 197931
В левый нижний угол шахматной доски 8×8 поставлено в форме квадрата 3×3 девять фишек. Фишка может прыгать на свободное поле через рядом стоящую фишку, то есть симметрично отражаться относительно её центра (прыгать можно по вертикали, горизонтали и диагонали). Можно ли за некоторое количество таких ходов поставить все фишки вновь в форме квадрата 3×3, но в другом углу: а) левом верхнем, б) правом верхнем?
Задача № 197880
Кошка ловит мышку в лабиринтах А, Б, В. Кошка ходит первой, начиная с узла, отмеченного буквой "К". Затем ходит мышка (из узла "М"), затем опять кошка и т. д. Из любого узла кошка и мышка ходят в любой соседний узел. Если в какой-то момент кошка и мышка оказываются в одном узле, кошка ест мышку. Сможет ли кошка поймать мышку в каждом из случаев А, Б, В?
Задача № 197831
Из листа клетчатой бумаги размером 29×29 клеточек вырезали 99 квадратиков 2×2 (режут по линиям). Доказать, что из оставшейся части листа можно вырезать ещё хотя бы один такой же квадратик.
Задача № 188311
Круг разделён на шесть секторов, в каждом из которых лежит по селёдке. Разрешается за один ход передвинуть любые две селёдки в соседних секторах, двигая их в разные стороны. Можно ли с помощью этой операции собрать все селёдки в одном секторе?
Задача № 188042
Все поля шахматной доски 8×8 покрыли 32 косточками домино (каждая косточка закрывает в точности два поля). Докажите, что число вертикально лежащих косточек чётно.
1–25 из 54