Найдите задачу для урока, кружка или самостоятельной работы.
В классе 27 учеников. Каждый из учеников класса занимается не более чем в двух кружках, причём для каждых двух учеников существует кружок, в котором они занимаются вместе. Докажите, что найдётся кружок, в котором занимаются не менее 18 учеников.
Можно ли нарисовать 1006 различных 2012-угольников, у которых все вершины общие, но при этом ни у каких двух нет ни одной общей стороны?
Каждый из учеников класса занимается не более чем в двух кружках, причём для любой пары учеников существует кружок, в котором они занимаются вместе. Докажите, что найдётся кружок, в котором занимается не менее ⅔ всего класса.
Два фокусника показывают зрителю такой фокус. У зрителя есть 24 карточки, пронумерованные числами от 1 до 24. Он выбирает из них 13 карточек и передаёт первому фокуснику. Тот возвращает зрителю две из них. Зритель добавляет к этим двум одну из оставшихся у него 11 карточек и, перемешав, передаёт эти три карточки второму фокуснику. Каким образом фокусники могут договориться так, чтобы второй всегда с гарантией мог определить, какую из трёх карточек добавил зритель?
Убирая детскую комнату к приходу гостей, мама нашла девять носков. Среди каждых четырёх из этих носков хотя бы два принадлежали одному ребёнку, а среди каждых пяти не более трёх имели одного хозяина. Сколько могло быть детей и сколько носков могло принадлежать каждому ребёнку?
На шахматную доску поставлены 11 коней так, что никакие два не бьют друг друга. Докажите, что на ту же доску можно поставить ещё одного коня с сохранением этого свойства.
Даны n + 1 попарно различных натуральных чисел, меньших 2n (n > 1). Докажите, что среди них найдутся три таких числа, что сумма двух из них равна третьему.
Чичиков играет с Ноздрёвым. Сначала Ноздрёв раскладывает 1001 орех по трём коробочкам. Посмотрев на раскладку, Чичиков называет любое целое число N от 1 до 1001. Далее Ноздрёв должен переложить, если надо, один или несколько орехов в пустую четвёртую коробочку и предъявить Чичикову одну или несколько коробочек, где в сумме ровно N орехов. В результате Чичиков получит столько мертвых душ, сколько орехов переложил Ноздрёв. Какое наибольшее число душ может гарантировать себе Чичиков, как бы ни играл Ноздрёв?
Длина прямоугольного участка равна 4 метра, а ширина – 1 метр. Можно ли посадить на нём три дерева так, чтобы расстояние между любыми двумя деревьями было не меньше чем 2,5 метра?
Банк обслуживает миллион клиентов, список которых известен Остапу Бендеру. У каждого есть свой PIN-код из шести цифр, у разных клиентов коды разные. Остап Бендер за один ход может выбрать любого клиента, которого он еще не выбирал, и подсмотреть у него цифры кода на любых N позициях (у разных клиентов он может выбирать разные позиции). Остап хочет узнать код миллионера Корейко. При каком наименьшем N он гарантированно сможет это сделать?
На плоской горизонтальной площадке стоят пять прожекторов, каждый из которых испускает лазерный луч под одним из двух острых углов α или β к площадке и может вращаться лишь вокруг вертикальной оси, проходящей через вершину луча. Известно, что любые четыре из этих прожекторов можно повернуть так, что все четыре испускаемых ими луча пересекутся в одной точке. Обязательно ли можно так повернуть все пять прожекторов, чтобы все пять лучей пересеклись в одной точке?
Можно ли 100 гирь массами 1, 2, 3, ..., 99, 100 разложить на 10 кучек разной массы так, чтобы выполнялось условие: чем тяжелее кучка, тем меньше в ней гирь?
В Академии Наук 999 академиков. Каждая научная тема интересует ровно троих академиков, и у каждых двух академиков есть ровно одна тема, интересная им обоим. Докажите, что можно выбрать 250 тем из их общей области научных интересов так, чтобы каждый академик интересовался не более чем одной из них.
Петя выбрал натуральное число a > 1 и выписал на доску пятнадцать чисел 1 + a, 1 + a², 1 + a³, ..., 1 + a15. Затем он стёр несколько чисел так, что каждые два оставшихся числа взаимно просты. Какое наибольшее количество чисел могло остаться на доске?
На доску выписаны 2011 чисел. Оказалось, что сумма каждых трёх выписанных чисел также является выписанным числом. Какое наименьшее количество нулей может быть среди этих чисел?
Прямую палку длиной 2 метра распилили на N палочек, длина каждой из которых выражается целым числом сантиметров. При каком наименьшем N можно гарантировать, что, использовав все получившиеся палочки, можно, не ломая их, сложить контур некоторого прямоугольника?
Есть тысяча билетов с номерами 000, 001, ..., 999 и сто ящиков с номерами 00, 01, ..., 99. Билет разрешается опустить в ящик, если номер ящика может быть получен из номера билета вычеркиванием одной из цифр. Можно ли разложить все билеты в 50 ящиков?
На шахматной доске расставили n белых и n чёрных ладей так, чтобы ладьи разного цвета не били друг друга. Найдите наибольшее возможное значение n.
Вершины правильного 45-угольника раскрашены в три цвета, причём вершин каждого цвета поровну. Докажите, что можно выбрать по три вершины каждого цвета так, чтобы три треугольника, образованные выбранными одноцветными вершинами, были равны.
В квадрате со стороной, равной 1, произвольно берут 101 точку (не обязательно внутри квадрата, возможно, часть на сторонах), причём никакие три из них не лежат на одной прямой. Докажите, что существует треугольник с вершинами в этих точках, площадь которого не больше 0,01.
Два муравья проползли каждый по своему замкнутому маршруту на доске 7×7. Каждый полз только по сторонам клеток доски и побывал в каждой из 64 вершин клеток ровно один раз. Каково наименьшее возможное число таких сторон, по которым проползали и первый, и второй муравьи?
На новом сайте зарегистрировалось 2000 человек. Каждый пригласил к себе в друзья по 1000 человек. Два человека объявляются друзьями тогда и только тогда, когда каждый из них пригласил другого в друзья. Какое наименьшее количество пар друзей могло образоваться?
В каждой клетке квадратной таблицы написано по действительному числу. Известно, что в каждой строке таблицы сумма k наибольших чисел равна a, а в каждом столбце таблицы сумма k наибольших чисел равна b. а) Докажите, что если k = 2, то a = b. б) В случае k = 3 приведите пример такой таблицы, для которой a ≠ b.
В каждой клетке квадратной таблицы написано по числу. Известно, что в каждой строке таблицы сумма двух наибольших чисел равна a, а в каждом столбце сумма двух наибольших чисел равна b. Докажите, что a = b.
Существуют ли пять таких двузначных составных чисел, что каждые два из них взаимно просты?