Задача № 21664910 класс11 класс4 / 5
По шоссе в одном направлении едут 10 автомобилей. Шоссе проходит через несколько населённых пунктов. Каждый из автомобилей едет с некоторой постоянной скоростью в населённых пунктах и с некоторой другой постоянной скоростью вне населённых пунктов. Для разных автомобилей эти скорости могут отличаться. Вдоль шоссе расположено 2011 флажков. Известно, что каждый автомобиль проехал мимо каждого флажка, причём около флажков обгонов не происходило. Докажите, что мимо каких-то двух флажков автомобили проехали в одном и том же порядке.
Задача № 21639710 класс11 класс4 / 5
100 красных точек разделили синюю окружность на 100 дуг, длины которых являются всеми натуральными числами от 1 до 100 в произвольном порядке. Докажите, что существуют две перпендикулярные хорды с красными концами.
Задача № 2117859 класс10 класс11 класс4 / 5
Среди натуральных чисел от 1 до 1200 выбрали 372 различных числа так, что никакие два из них не различаются на 4, 5 или 9. Докажите, что число 600 является одним из выбранных.
Задача № 2101549 класс10 класс11 класс4 / 5
На плоскости отмечено N 3различных точек. Известно, что среди попарных расстояний между отмеченными точками встречаются не более n различных расстояний. Докажите, что N (n+1)2 .
Задача № 20982010 класс11 класс4 / 5
Можно ли расположить в пространстве 12 прямоугольных параллелепипедов P1 , P2 , P12, ребра которых параллельны координатным осям Ox , Oy , Oz так, чтобы P2 пересекался (т.е. имел хотя бы одну общую точку) с каждым из оставшихся, кроме P1 и P3 , P3 пересекался с каждым из оставшихся, кроме P2 и P4 , и т.д., P12пересекался с каждым из оставшихся, кроме P11и P1 , P1 пересекался с каждым из оставшихся, кроме P12и P2 ? (Поверхность параллелепипеда принадлежит ему.)
Задача № 2098059 класс10 класс11 класс4 / 5
В стране 1001 город, каждые два города соединены дорогой с односторонним движением. Из каждого города выходит ровно 500 дорог, в каждый город входит ровно 500 дорог. От страны отделилась независимая республика, в которую вошли 668 городов. Докажите, что из каждого города этой республики можно доехать до любого другого ее города, не выезжая за пределы республики.
Задача № 2097148 класс9 класс10 класс11 класс4 / 5
Клетки таблицы 100×100 окрашены в 4 цвета так, что в каждой строке и в каждом столбце ровно по 25 клеток каждого цвета. Докажите, что найдутся две строки и два столбца, все четыре клетки на пересечении которых окрашены в разные цвета.
Задача № 2094988 класс9 класс10 класс11 класс4 / 5
В однокруговом футбольном турнире играли  n > 4 команд. За победу давалось 3 очка, за ничью 1, за проигрыш 0. Оказалось, что все команды набрали поровну очков. а) Докажите, что найдутся четыре команды, имеющие поровну побед, поровну ничьих и поровну поражений. б) При каком наименьшем n могут не найтись пять таких команд?
Задача № 2079929 класс10 класс11 класс4 / 5
Для каждой пары действительных чиселaиbрассмотрим последовательность чиселpn= [2{an+b}]. Любыеkподряд идущих членов этой последовательности назовем словом. Верно ли, что любой упорядоченный набор из нулей и единиц длиныkбудет словом последовательности, заданной некоторымиaиbприk= 4; приk= 5? Примечание: [c] - целая часть, {c} - дробная часть числа c.
Задача № 2078618 класс9 класс10 класс11 класс4 / 5
На пол положили правильный треугольникABC, выпиленный из фанеры. В пол вбили три гвоздя (по одному вплотную к каждой стороне треугольника) так, что треугольник невозможно повернуть, не отрывая от пола. Первый гвоздь делит сторонуABв отношении 1 : 3, считая от вершиныA, второй делит сторонуBCв отношении 2 : 1, считая от вершиныB. В каком отношении делит сторонуACтретий гвоздь?
Задача № 2078449 класс10 класс11 класс4 / 5
На плоскости дано конечное число полос, сумма ширин которых равна 100, и круг радиуса 1. Докажите, что каждую из полос можно параллельно перенести так, чтобы все они вместе покрыли круг.
Задача № 2078209 класс10 класс11 класс4 / 5
В таблице 2n×n были выписаны всевозможные строки длины n из чисел 1 и –1. Затем часть чисел заменили нулями. Докажите, что можно выбрать несколько строк, сумма которых есть строка из нулей. (Суммой строк называется строка, элементы которой являются суммами соответствующих элементов слагаемых.)
Задача № 2076276 класс7 класс8 класс9 класс10 класс11 класс4 / 5
Петя разрезал прямоугольный лист бумаги по прямой. Затем он разрезал по прямой один из получившихся кусков. Затем он проделал то же самое с одним из трёх получившихся кусков и т.д. Докажите, что после достаточного количества разрезаний можно будет выбрать среди получившихся кусков 100 многоугольников с одинаковым числом вершин (например, 100 треугольников или 100 четырёхугольников и т.д.).
Задача № 20507110 класс11 класс4 / 5
Докажите, что первые цифры чисел вида 22n образуют непериодическую последовательность.
Задача № 1861239 класс10 класс11 класс4 / 5
На прямоугольном листе бумаги нарисован круг, внутри которого Миша мысленно выбираетnточек, а Коля пытается их разгадать. За одну попытку Коля указывает на листе (внутри или вне круга) одну точку, а Миша сообщает Коле расстояние от нее до ближайшей неразгаданной точки. Если оно оказывается нулевым, то после этого указанная точка считается разгаданной. Коля умеет отмечать на листе точки, откладывать расстояния и производить построения циркулем и линейкой. Может ли Коля наверняка разгадать все выбранные точки менее, чем за (n+1)2попыток?
Задача № 1793979 класс10 класс11 класс4 / 5
XиY— два выпуклых многоугольника, причём многоугольникXсодержится внутриY. ПустьS(X) иS(Y) — площади этих многоугольников, аP(X) иP(Y) — их периметры. Доказать, чтоP(X)S(X)< 2 . P(Y)S(Y).
Задача № 17879110 класс11 класс4 / 5
а) Доказать, что сумма цифр числа K не более чем в 8 раз превосходит сумму цифр числа 8K. б) Для каких натуральных k существует такое положительное число ck, что ≥ ck для всех натуральных N? Найдите наибольшее подходящее значение ck.
Задача № 1785718 класс9 класс10 класс11 класс4 / 5
Посередине между двумя параллельными улицами стоят в один ряд одинаковые дома со стороной, равной a. Расстояние между улицами – 3a, а расстояние между двумя соседними домами – 2a (см. рис.). Одна улица патрулируется полицейскими, которые движутся на расстоянии 9a друг от друга со скоростью v. К тому времени, как первый полицейский проходит мимо середины некоторого дома, точно напротив него на другой улице появляется гангстер. С какой постоянной скоростью и в какую сторону должен двигаться по этой улице гангстер, чтобы ни один полицейский его не заметил?
Задача № 1785489 класс10 класс11 класс4 / 5
При дворе короля Артура собрались 2nрыцарей, причём каждый из них имеет среди присутствующих не более n– 1 врага. Доказать, что Мерлин, советник Артура, может так рассадить рыцарей за круглым столом, что ни один из них не будет сидеть рядом со своим врагом.
Задача № 17851010 класс11 класс4 / 5
Доказать, что на сфере нельзя так расположить три дуги больших окружностей в300oкаждая, чтобы никакие две из них не имели ни общих точек, ни общих концов. Примечание: Большая окружность – это окружность, полученная в сечении сферы плоскостью, проходящей через ее центр.
Задача № 17793510 класс11 класс4 / 5
Автобусный маршрут содержит 14 остановок (считая две конечные). В автобусе одновременно могут ехать не более 25 пассажиров. Доказать, что во время поездки автобуса из одного конца в другой a) найдутся восемь таких различных остановок A1, B1, A2, B2, A3, B3, A4, B4, что ни один пассажир не едет от A1 до B1, ни один пассажир не едет от A2 до B2, ни один пассажир не едет от A3 до B3 и ни один пассажир не едет от A4 до B4; б) может оказаться, что пассажиры едут таким образом, что не существует десяти различных остановок A1, B1, A2, B2, A3, B3, A4, B4, A5, B5, которые обладали бы аналогичными свойс...
Задача № 1779158 класс9 класс10 класс11 класс4 / 5
Числа 1, 2, 3, ..., 101 выписаны в ряд в каком-то порядке. Докажите, что из них можно вычеркнуть 90 так, что оставшиеся 11 будут расположены по их величине (либо возрастая, либо убывая).
Задача № 17789810 класс11 класс4 / 5
Докажите, что числа вида 2nпри различных целых положительныхnмогут начинаться на любую наперёд заданную комбинацию цифр.
Задача № 16631710 класс11 класс4 / 5
На плоскости нарисованы неравнобедренный треугольник ABC и вписанная в него окружность ω. Пользуясь только линейкой и проведя не более восьми линий, постройте на ω такие точки A′, B′, C′, что лучи B′C′, C′A′, A′B′ проходят через A, B, C соответственно.
Задача № 1661589 класс10 класс11 класс4 / 5
На доске выписаны в ряд n положительных чисел a1, a2, ..., an. Вася хочет выписать под каждым числом ai число bi ≥ ai так, чтобы для каждых двух из чисел b1, b2, ..., bn отношение одного из них к другому было целым. Докажите, что Вася может выписать требуемые числа так, чтобы выполнялось неравенство b1b2...bn ≤ 2(n–1)/2a1a2...an.