Задача № 211815
Дан квадратный трёхчлен f(x) = x² + ax + b. Известно, что для любого вещественного x существует такое вещественное y, что f(y) = f(x) + y. Найдите наибольшее возможное значение a.
Олимпиадные задачи по теме «Методы решения задач с параметром» - сложность 3 с решениями
Найдите задачу для урока, кружка или самостоятельной работы.
Задача № 209942
Пусть f(x)=x2+ax+b cos x . Найдите все значения параметров a и b , при которых уравнения f(x)=0и f(f(x))=0имеют совпадающие непустые множества действительных корней.
Задача № 209912
Для каких α существует функция f : , отличная от константы, такая, что f(α(x+y))=f(x)+f(y);?
Задача № 209867
Рассматриваются такие квадратичные функции f(x) = ax² + bx + c, что a < b и f(x) ≥ 0 для всех x. Какое наименьшее значение может принимать выражение a+b+c/b–a ?
Задача № 209484
Значение a подобрано так, что число корней первого из уравнений 4x – 4–x = 2 cos ax, 4x + 4–x = 2 cos ax + 4 равно 2007. Сколько корней при том же a имеет второе уравнение?
Задача № 209177
Доказать, что каковы бы ни были числа a, b, c, по крайней мере одно из уравнений a sin x + b cos x + c = 0, 2a tg x + b ctg x + 2c = 0 имеет решение.
Задача № 198392
Положительные числа A, B, C и D таковы, что система уравнений x² + y² = A, |x| + |y| = B имеет m решений, а система уравнений x² + y² + z² = C, |x| + |y| + |z| = D имеет n решений. Известно, что m > n > 1. Найдите m и n.
Задача № 178565
В квадратном уравнении x² + px + q коэффициенты p, q независимо пробегают все значения от –1 до 1 включительно. Найти множество значений, которые при этом принимает действительный корень данного уравнения.
Задача № 176453
Решить уравнение = x.
Задача № 173712
Пусть a – заданное вещественное число, n – натуральное число, n > 1. Найдите все такие x, что сумма корней n-й степени из чисел xn – an и 2an – xn равна числу a.
Задача № 173638
Исследуйте, сколько решений имеет система уравнений x² + y² + xy = a, x² – y² = b, где а и b – некоторые данные действительные числа.
Задача № 173607
Пусть p – произвольное вещественное число. Найдите все такие x, что сумма кубических корней из чисел 1 – x и 1 + x равна p.
Задача № 161348
Исследуйте системы уравнений: а) б) в) г) д) е)
Задача № 161274
Изобразите на фазовой плоскости Opq множество точек (p, q), для которых уравнение x³ + px + q = 0 имеет три различных корня, принадлежащих интервалу (–2, 4).
Задача № 161273
Изобразите на фазовой плоскости Opq множества точек (p, q), для которых все корни уравнения x³ + px + q = 0 не превосходят по модулю 1.
Задача № 161272
Изобразите на фазовой плоскости Opq множества точек (p, q), для которых уравнение x³ + px + q = 0 имеет а) один корень; б) два корня; в) три различных корня; г) три совпадающих корня.
Задача № 161270
Найдите все действительные значения a и b, при которых уравнения x³ + ax² + 18 = 0, x³ + bx + 12 = 0 имеют два общих корня, и определите эти корни.
Задача № 161034
Найдите все значения параметра a, при которых корни x1, x2, x3 многочлена x3 – 6x2 + ax + a удовлетворяют равенству (x1 – 3)3 + (x2 – 3)3 + (x3 – 3)3 = 0.
Задача № 160972
Найдите необходимое и достаточное условие для того, чтобы выражение x³ + y³ + z³ + kxyz делилось на x + y + z.