Задача № 211815
Дан квадратный трёхчлен f(x) = x² + ax + b. Известно, что для любого вещественного x существует такое вещественное y, что f(y) = f(x) + y. Найдите наибольшее возможное значение a.
Олимпиадные задачи по теме «Методы решения задач с параметром»
Найдите задачу для урока, кружка или самостоятельной работы.
Задача № 210128
Найдите все x, при которых уравнение x² + y² + z² + 2xyz = 1 (относительно z) имеет действительное решение при любом y.
Задача № 209942
Пусть f(x)=x2+ax+b cos x . Найдите все значения параметров a и b , при которых уравнения f(x)=0и f(f(x))=0имеют совпадающие непустые множества действительных корней.
Задача № 209912
Для каких α существует функция f : , отличная от константы, такая, что f(α(x+y))=f(x)+f(y);?
Задача № 209867
Рассматриваются такие квадратичные функции f(x) = ax² + bx + c, что a < b и f(x) ≥ 0 для всех x. Какое наименьшее значение может принимать выражение a+b+c/b–a ?
Задача № 209484
Значение a подобрано так, что число корней первого из уравнений 4x – 4–x = 2 cos ax, 4x + 4–x = 2 cos ax + 4 равно 2007. Сколько корней при том же a имеет второе уравнение?
Задача № 209450
Может ли вершина параболы у = 4х² – 4(а + 1)х + а лежать во второй координатной четверти при каком-нибудь значении а?
Задача № 209177
Доказать, что каковы бы ни были числа a, b, c, по крайней мере одно из уравнений a sin x + b cos x + c = 0, 2a tg x + b ctg x + 2c = 0 имеет решение.
Задача № 198392
Положительные числа A, B, C и D таковы, что система уравнений x² + y² = A, |x| + |y| = B имеет m решений, а система уравнений x² + y² + z² = C, |x| + |y| + |z| = D имеет n решений. Известно, что m > n > 1. Найдите m и n.
Задача № 186520
Про квадратный трехчлен f(x) = ax² – ax + 1 известно, что | f(x)| ≤ 1 при 0 ≤ x ≤ 1. Найдите наибольшее возможное значение а.
Задача № 186511
Квадратный трехчлен y = ax² + bx + c не имеет корней и а + b + c > 0. Найдите знак коэффициента с.
Задача № 186484
При каких значениях m уравнения mx – 1000 = 1001 и 1001x = m – 1000x имеют общий корень?
Задача № 178565
В квадратном уравнении x² + px + q коэффициенты p, q независимо пробегают все значения от –1 до 1 включительно. Найти множество значений, которые при этом принимает действительный корень данного уравнения.
Задача № 177952
Если при любом положительном p все корни уравнения ax² + bx + c + p = 0 действительны и положительны, то коэффициент a равен нулю. Докажите.
Задача № 176508
Система уравнений второго порядка x² – y² = 0, (x – a)² + y² = 1 имеет, вообще говоря, четыре решения. При каких значениях a число решений системы уменьшается до трёх или до двух?
Задача № 176497
Найти такие отличные от нуля неравные между собой целые числа a, b, c, чтобы выражение x(x – a)(x – b)(x – c) + 1 разлагалось в произведение двух многочленов (ненулевой степени) с целыми коэффициентами.
Задача № 176465
Решить систему уравнений:
Задача № 176453
Решить уравнение = x.
Задача № 176450
Решить систему уравнений: 3xyz – x³ – y³ – z³ = b³, x + y + z = 2b, x² + y² + z² = b².
Задача № 176440
Решить систему: x + y + z = a, x² + y² + z² = a², x³ + y³ + z³ = a³.
Задача № 176435
Решить систему уравнений: x + y = a, x5 + y5 = b5.
Задача № 176423
Решить систему уравнений: x² + y² – 2z² = 2a², x + y + 2z = 4(a² + 1), z² – xy = a².
Задача № 173712
Пусть a – заданное вещественное число, n – натуральное число, n > 1. Найдите все такие x, что сумма корней n-й степени из чисел xn – an и 2an – xn равна числу a.
Задача № 173638
Исследуйте, сколько решений имеет система уравнений x² + y² + xy = a, x² – y² = b, где а и b – некоторые данные действительные числа.
Задача № 173607
Пусть p – произвольное вещественное число. Найдите все такие x, что сумма кубических корней из чисел 1 – x и 1 + x равна p.
1–25 из 53