Задача № 211815
Дан квадратный трёхчлен f(x) = x² + ax + b. Известно, что для любого вещественного x существует такое вещественное y, что f(y) = f(x) + y. Найдите наибольшее возможное значение a.
Олимпиадные задачи по теме «Методы решения задач с параметром» для 2-9 класса
Найдите задачу для урока, кружка или самостоятельной работы.
Задача № 210128
Найдите все x, при которых уравнение x² + y² + z² + 2xyz = 1 (относительно z) имеет действительное решение при любом y.
Задача № 209942
Пусть f(x)=x2+ax+b cos x . Найдите все значения параметров a и b , при которых уравнения f(x)=0и f(f(x))=0имеют совпадающие непустые множества действительных корней.
Задача № 209450
Может ли вершина параболы у = 4х² – 4(а + 1)х + а лежать во второй координатной четверти при каком-нибудь значении а?
Задача № 209177
Доказать, что каковы бы ни были числа a, b, c, по крайней мере одно из уравнений a sin x + b cos x + c = 0, 2a tg x + b ctg x + 2c = 0 имеет решение.
Задача № 186520
Про квадратный трехчлен f(x) = ax² – ax + 1 известно, что | f(x)| ≤ 1 при 0 ≤ x ≤ 1. Найдите наибольшее возможное значение а.
Задача № 186511
Квадратный трехчлен y = ax² + bx + c не имеет корней и а + b + c > 0. Найдите знак коэффициента с.
Задача № 186484
При каких значениях m уравнения mx – 1000 = 1001 и 1001x = m – 1000x имеют общий корень?
Задача № 178565
В квадратном уравнении x² + px + q коэффициенты p, q независимо пробегают все значения от –1 до 1 включительно. Найти множество значений, которые при этом принимает действительный корень данного уравнения.
Задача № 177952
Если при любом положительном p все корни уравнения ax² + bx + c + p = 0 действительны и положительны, то коэффициент a равен нулю. Докажите.
Задача № 176497
Найти такие отличные от нуля неравные между собой целые числа a, b, c, чтобы выражение x(x – a)(x – b)(x – c) + 1 разлагалось в произведение двух многочленов (ненулевой степени) с целыми коэффициентами.
Задача № 176453
Решить уравнение = x.
Задача № 176450
Решить систему уравнений: 3xyz – x³ – y³ – z³ = b³, x + y + z = 2b, x² + y² + z² = b².
Задача № 176440
Решить систему: x + y + z = a, x² + y² + z² = a², x³ + y³ + z³ = a³.
Задача № 176435
Решить систему уравнений: x + y = a, x5 + y5 = b5.
Задача № 176423
Решить систему уравнений: x² + y² – 2z² = 2a², x + y + 2z = 4(a² + 1), z² – xy = a².
Задача № 173638
Исследуйте, сколько решений имеет система уравнений x² + y² + xy = a, x² – y² = b, где а и b – некоторые данные действительные числа.
Задача № 173607
Пусть p – произвольное вещественное число. Найдите все такие x, что сумма кубических корней из чисел 1 – x и 1 + x равна p.
Задача № 161348
Исследуйте системы уравнений: а) б) в) г) д) е)
Задача № 161344
Решите системы уравнений. Для каждой из них выясните, при каких значениях параметров система не имеет решений, а при каких имеет бесконечно много решений. а) б) в) г) д) е) ж) з)
Задача № 161321
Решите уравнение=x.
Задача № 161270
Найдите все действительные значения a и b, при которых уравнения x³ + ax² + 18 = 0, x³ + bx + 12 = 0 имеют два общих корня, и определите эти корни.
Задача № 161034
Найдите все значения параметра a, при которых корни x1, x2, x3 многочлена x3 – 6x2 + ax + a удовлетворяют равенству (x1 – 3)3 + (x2 – 3)3 + (x3 – 3)3 = 0.
Задача № 160995
При каком положительном значении p уравнения 3x² – 4px + 9 = 0 и x² – 2px + 5 = 0 имеют общий корень?
Задача № 160976
При каких a и b многочлен P(x) = (a + b)x5 + abx² + 1 делится на x² – 3x + 2?
1–25 из 42