Найдите задачу для урока, кружка или самостоятельной работы.
В треугольнике провели серединные перпендикуляры к его сторонам и измерили их отрезки, лежащие внутри треугольника. а) Все три отрезка оказались равны. Верно ли, что треугольник равносторонний? б) Два отрезка оказались равны. Верно ли, что треугольник равнобедренный? в) Могут ли длины отрезков равняться 4, 4 и 3?
Высота SO правильной четырёхугольной пирамиды SABCD образует с боковым ребром угол α , объём этой пирамиды равен V . Вершина второй правильной четырёхугольной пирмиды находится в точке S , центр основания – в точке C , а одна из вершин основания лежит на прямой SO . Найдите объём общей части этих пирамид.
Объём правильной четырёхугольной пирамиды SABCD равен V . Высота SP пирамиды является ребром правильного тетраэдра SPQR , плоскость грани PQR которого перпендикулярна ребру SC . Найдите объём общей части этих пирамид.
Числа p и q таковы, что параболы y = – 2x² и y = x² + px + q пересекаются в двух точках, ограничивая некоторую фигуру. Найдите уравнение вертикальной прямой, делящей площадь этой фигуры пополам.
Непрерывная функция f(x)такова, что для всех действительных x выполняется неравенство: f(x2)-(f(x))2 . Верно ли, что функция f(x)обязательно имеет точки экстремума?
Основание пирамиды – квадрат. Высота пирамиды пересекает диагональ основания. Найдите наибольший объём такой пирамиды, если периметр диагонального сечения, содержащего высоту пирамиды, равен 5.
При каких натуральных n найдутся такие положительные рациональные, но не целые числа a и b, что оба числа a + b и an + bn – целые?
Докажите, что для каждого x такого, что sin x 0, найдется такое натуральное n , что | sin nx| .
Окружности σ 1 и σ 2 пересекаются в точках A и B . В точке A к σ 1 и σ 2 проведены соответственно касательные l1 и l2 . Точки T1 и T2 выбраны соответственно на окружностях σ 1 и σ 2 так, что угловые меры дуг T1A и AT2 равны (величина дуги окружности считается по часовой стрелке). Касательная t1 в точке T1 к окружности σ 1 пересекает l2 в точке M1 . Аналогично, касательная t2 в точке T2 к окружности σ 2 пересекает l1 в точке M2 . Докажите, что середины отрезков M1M2 находятся на одной прямой, не зависящей от положения точек T1 , T2 .
Сумма положительных чисел a, b, c равна π/2. Докажите, что cos a + cos b + cos c > sin a + sin b + sin c.
Пусть многочлен P(x) = anxn + an–1xn–1 + ... + a0 имеет хотя бы один действительный корень и a0 ≠ 0. Докажите, что, последовательно вычеркивая в некотором порядке одночлены в записи P(x), можно получить из него число a0 так, чтобы каждый промежуточный многочлен также имел хотя бы один действительный корень.
Функции f(x) – x и f(x²) – x6 определены при всех положительных x и возрастают. Докажите, что функция также возрастает при всех положительных x.
Действительные числа x и y таковы, что для любых различных простых нечётных p и q число xp + yq рационально. Докажите, что x и y – рациональные числа.
Ненулевые числа a и b удовлетворяют равенству a²b²(a²b² + 4) = 2(a6 + b6). Докажите, что хотя бы одно из них иррационально.
По данному натуральному числу a0 строится последовательность {an} следующим образом если an нечётно, и a0/2, если an чётно. Докажите, что при любом нечётном a0 > 5 в последовательности {an} встретятся сколь угодно большие числа.
Существует ли функция f(x), определенная при всех x и для всех x,y удовлетворяющая неравенству |f(x+y)+ sin x+ sin y|
О функции f(x), заданной на всей действительной прямой, известно, что при любом a>1функция f(x)+f(ax)непрерывна на всей прямой. Докажите, что f(x)также непрерывна на всей прямой.
Решите уравнение {(x + 1)³} = x³.
Для каких α существует функция f : , отличная от константы, такая, что f(α(x+y))=f(x)+f(y);?
Многочлен P(x) степени n имеет n различных действительных корней. Какое наибольшее число его коэффициентов может равняться нулю?
Докажите, что sin
Десять попарно различных ненулевых чисел таковы, что для каждых двух из них либо сумма этих чисел, либо их произведение – рациональное число. Докажите, что квадраты всех чисел рациональны.
Существует ли ограниченная функция f : такая, что f(1)>0и f(x)удовлетворяет при всех x,y неравенству f2(x+y) f2(x)+2f(xy)+f2(y)?
Какое наибольшее конечное число корней может иметь уравнение |x-a1|+..+|x-a50|=|x-b1|+..+|x-b50|, где a1 , a2 , a50, b1 , b2 , b50– различные числа?
Существуют ли такие попарно различные натуральные числа m, n, p, q, что m + n = p + q и