Задача № 216994
Пусть x1, x2, ..., xn – некоторые числа, принадлежащие отрезку [0, 1]. Докажите, что на этом отрезке найдется такое число x, что 1/n (|x – x1| + |x – x2| + ... + |x – xn|) = ½.
Олимпиадные задачи по теме «Математический анализ» - сложность 2 с решениями
Найдите задачу для урока, кружка или самостоятельной работы.
Задача № 216889
Коэффициенты квадратного уравнения ax² + bx + c = 0 удовлетворяют условию 2a + 3b + 6c = 0. Докажите, что это уравнение имеет корень на интервале (0, 1).
Задача № 216639
На доске написаны девять приведённых квадратных трёхчленов: x² + a1x + b1, x² + a2x + b2, ..., x² + a9x + b9. Известно, что последовательности a1, a2, ..., a9 и b1, b2, ..., b9 – арифметические прогрессии. Оказалось, что сумма всех девяти трёхчленов имеет хотя бы один корень. Какое наибольшее количество исходных трёхчленов может не иметь корней?
Задача № 216627
Решите неравенство: [x]·{x} < x – 1.
Задача № 216589
Последовательность чисел a1, a2, ... задана условиями a1 = 1, a2 = 143 и при всех n ≥ 2. Докажите, что все члены последовательности – целые числа.
Задача № 216433
Функция f(x) определена на положительной полуоси и принимает только положительные значения. Известно, что f(1) + f(2) = 10 и при любых а и b. Найдите f(22011).
Задача № 216254
Найдите такое значение , при котором уравнение имеет единственное решение.
Задача № 216003
Функция f(x) определена для всех x, кроме 1, и удовлетворяет равенству: . Найдите f(–1).
Задача № 211923
Когда из бассейна сливают воду, уровень h воды в нём меняется в зависимости от времени t по закону h(t)=at2+bt+c, а в момент t0 окончания слива выполнены равенства h(t0)=h'(t0)=0. За сколько часов вода из бассейна сливается полностью, если за первый час уровень воды в нём уменьшается вдвое?
Задача № 211345
Числа p и q таковы, что параболы y = – 2x² и y = x² + px + q пересекаются в двух точках, ограничивая некоторую фигуру. Найдите уравнение вертикальной прямой, делящей площадь этой фигуры пополам.
Задача № 210153
Сумма положительных чисел a, b, c равна π/2. Докажите, что cos a + cos b + cos c > sin a + sin b + sin c.
Задача № 209946
Решите уравнение {(x + 1)³} = x³.
Задача № 209533
На доске написано: x³ + ...x² + ...x + ... = 0. Два школьника по очереди вписывают вместо многоточий действительные числа. Цель первого – получить уравнение, имеющее ровно один действительный корень. Сможет ли второй ему помешать?
Задача № 209438
Функция f такова, что для любых положительных x и y выполняется равенство f(xy) = f(x) + f(y). Найдите f(2007), если f() = 1.
Задача № 208604
На сторонах AB, BC и AC треугольника ABC взяты точки P, M и K так, что отрезки AM, BK и CP пересекаются в одной точке и Докажите, что P, M и K – середины сторон треугольника ABC.
Задача № 207761
Бесконечная последовательность чисел xn определяется условиями: xn+1 = 1 – |1 – 2xn|, причём 0 ≤ x1 ≤ 1. Докажите, что последовательность, начиная с некоторого места, периодическая а) в том б) и только в том случае, когда x1 рационально.
Задача № 205091
Вычислите
Задача № 203966
В Монголии имеются в обращении монеты в 3 и 5 тугриков. Входной билет в центральный парк стоит 4 тугрика. Как-то раз перед открытием в кассу парка выстроилась очередь из 200 посетителей. У каждого из них, а также у кассира есть ровно 22 тугрика. Докажите, что все посетители смогут купить билет в порядке очереди.
Задача № 198588
Пусть x, y, z – любые числа из интервала (0, π/2). Докажите неравенство
Задача № 198510
В магазин завезли 20 кг сыра, за ним выстроилась очередь. Отпустив сыр очередному покупателю, продавщица безошибочно подсчитывает средний вес покупки по всему проданному сыру и сообщает, на сколько человек хватит оставшегося сыра, если все будут покупать именно по этому среднему весу. Могла ли продавщица после каждого из первых 10 покупателей сообщать, что сыра хватит ещё ровно на 10 человек? Если да, то сколько сыра осталось в магазине после первых 10 покупателей?
Задача № 198455
Пусть ABC – остроугольный треугольник, C' и A' – произвольные точки на сторонах AB и BC соответственно, B' – середина стороны AC. а) Докажите, что площадь треугольника A'B'C' не больше половины площади треугольника ABC. б) Докажите, что площадь треугольника A'B'C' равна четверти площади треугольника ABC тогда и только тогда, когда хотя бы одна из точек A', C' совпадает с серединой соответствующей стороны.
Задача № 198427
В ряд стоят 1999 чисел. Первое число равно 1. Известно, что каждое число, кроме первого и последнего, равно сумме двух соседних. Найдите последнее число.
Задача № 198298
В ряд выписаны действительные числа a1, a2, a3, ..., a1996. Докажите, что можно выделить одно или несколько стоящих рядом чисел так, что их сумма будет отличаться от целого числа меньше, чем на 0,001.
Задача № 198221
{an} – последовательность чисел между 0 и 1, в которой следом за x идёт 1 – |1 – 2x|. а) Докажите, что если a1 рационально, то последовательность, начиная с некоторого места, периодическая. б) Докажите, что если последовательность, начиная с некоторого места, периодическая, то a1 рационально.
Задача № 198217
Последовательность натуральных чисел a1, a2, ..., an, ... такова, что для каждого n уравнение an+2x² + an+1x + an = 0 имеет действительный корень. Может ли число членов этой последовательности быть а) равным 10; б) бесконечным?
1–25 из 125