Задача № 204104
Найдите все такие функции f(x), что f(2x + 1) = 4x² + 14x + 7.
Олимпиадные задачи по теме «Математический анализ» для 6-7 класса
Найдите задачу для урока, кружка или самостоятельной работы.
Задача № 203966
В Монголии имеются в обращении монеты в 3 и 5 тугриков. Входной билет в центральный парк стоит 4 тугрика. Как-то раз перед открытием в кассу парка выстроилась очередь из 200 посетителей. У каждого из них, а также у кассира есть ровно 22 тугрика. Докажите, что все посетители смогут купить билет в порядке очереди.
Задача № 202797
Решить уравнение [x³] + [x²] + [x] = {x} − 1.
Задача № 198427
В ряд стоят 1999 чисел. Первое число равно 1. Известно, что каждое число, кроме первого и последнего, равно сумме двух соседних. Найдите последнее число.
Задача № 198215
Бесконечная последовательность чисел xn определяется условиями: xn+1 = 1 – |1 – 2xn|, причём 0 ≤ x1 ≤ 1. а) Докажите, что последовательность, начиная с некоторого места, периодическая в том и только в том случае, когда x1 рационально. б) Сколько существует значений x1, для которых эта последовательность – периодическая с периодом T (для каждого T = 2, 3, ...)?
Задача № 198169
Задано правило, которое каждой паре чисел x, y ставит в соответствие некоторое число x*y, причём для любых x, y, z выполняются тождества: 1) x*x = 0, 2) x*(y*z) = (x*y) + z. Найдите 1993*1932.
Задача № 198024
Решить в натуральных числах уравнение:
Задача № 188296
Найдется ли такое n, при котором ? А больше 1000?
Задача № 167498
На доску записали числа , , ..., . Далее за ход стирают любые два числа и , где , и пишут вместо них одно число . После ходов на доске останется одно число. Каким наибольшим оно может быть? (Напомним, что — это наибольшее целое число, не превосходящее .)
Задача № 165593
Известно, что а > 1. Обязательно ли имеет место равенство = ?
Задача № 165001
В ряд записаны 20 различных натуральных чисел. Произведение каждых двух из них, стоящих подряд, является квадратом натурального числа. Первое число равно 42. Докажите, что хотя бы одно из чисел больше чем 16000.
Задача № 161543
Обозначим черезSсумму следующего ряда: S = 1 - 1 + 1 - 1 + 1 -... (12.1) Преобразовав равенство (12.1), можно получить уравнение, из которого находитсяS: S = 1 - (1 - 1 + 1 - 1 +...) = 1 - S S = . СуммуSможно также найти объединяя слагаемые ряда (12.1) в пары: S = (1 - 1) + (1 - 1) +...= 0 + 0 +...= 0; S = 1 - (1 - 1) - (1 - 1) -...= 1 - 0 - 0 -...= 1. Наконец, переставив местами соседние слагаемые, получаем еще одно значениеS: S = - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 +...= - 1 + (1 - 1) + (1 - 1) +...= - 1. Итак, действуя четырьмя разными спос...
Задача № 160845
Пусть число α задаётся десятичной дробью а) 0,101001000100001000001...; б) 0,123456789101112131415.... Будет ли это число рациональным?
Задача № 160552
Докажите, что для действительного положительного α и натурального d всегда выполнено равенство [α/d] = [[α]/d].
Задача № 160551
Пусть α – действительное положительное число, d – натуральное. Докажите, что количество натуральных чисел, не превосходящих α и делящихся на d, равно [α/d].
Задача № 132884
Доказать, что если несократимая рациональная дробь p/q является корнем многочлена P(x) с целыми коэффициентами, то P(x) = (qx – p)Q(x), где многочлен Q(x) также имеет целые коэффициенты.
Задача № 132798
(Продолжение задачи 132796) Стоя в углу, Клайв разобрал свои наручные часы, чтобы посмотреть, как они устроены. Собирая их обратно, он произвольно надел часовую и минутную стрелки. Сможет ли он так повернуть циферблат, чтобы хоть раз в сутки часы показывали правильное время (часы при этом еще не заведены)?