Найдите задачу для урока, кружка или самостоятельной работы.
В Монголии имеются в обращении монеты в 3 и 5 тугриков. Входной билет в центральный парк стоит 4 тугрика. Как-то раз перед открытием в кассу парка выстроилась очередь из 200 посетителей. У каждого из них, а также у кассира есть ровно 22 тугрика. Докажите, что все посетители смогут купить билет в порядке очереди.
В ряд стоят 1999 чисел. Первое число равно 1. Известно, что каждое число, кроме первого и последнего, равно сумме двух соседних. Найдите последнее число.
На доску записали числа , , ..., . Далее за ход стирают любые два числа и , где , и пишут вместо них одно число . После ходов на доске останется одно число. Каким наибольшим оно может быть? (Напомним, что — это наибольшее целое число, не превосходящее .)
Известно, что а > 1. Обязательно ли имеет место равенство = ?
В ряд записаны 20 различных натуральных чисел. Произведение каждых двух из них, стоящих подряд, является квадратом натурального числа. Первое число равно 42. Докажите, что хотя бы одно из чисел больше чем 16000.
Обозначим черезSсумму следующего ряда: S = 1 - 1 + 1 - 1 + 1 -... (12.1) Преобразовав равенство (12.1), можно получить уравнение, из которого находитсяS: S = 1 - (1 - 1 + 1 - 1 +...) = 1 - S S = . СуммуSможно также найти объединяя слагаемые ряда (12.1) в пары: S = (1 - 1) + (1 - 1) +...= 0 + 0 +...= 0; S = 1 - (1 - 1) - (1 - 1) -...= 1 - 0 - 0 -...= 1. Наконец, переставив местами соседние слагаемые, получаем еще одно значениеS: S = - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 +...= - 1 + (1 - 1) + (1 - 1) +...= - 1. Итак, действуя четырьмя разными спос...
Пусть число α задаётся десятичной дробью а) 0,101001000100001000001...; б) 0,123456789101112131415.... Будет ли это число рациональным?
Доказать, что если несократимая рациональная дробь p/q является корнем многочлена P(x) с целыми коэффициентами, то P(x) = (qx – p)Q(x), где многочлен Q(x) также имеет целые коэффициенты.
(Продолжение задачи 132796) Стоя в углу, Клайв разобрал свои наручные часы, чтобы посмотреть, как они устроены. Собирая их обратно, он произвольно надел часовую и минутную стрелки. Сможет ли он так повернуть циферблат, чтобы хоть раз в сутки часы показывали правильное время (часы при этом еще не заведены)?