Задача № 216254
Найдите такое значение , при котором уравнение имеет единственное решение.
Олимпиадные задачи по теме «Производная» - сложность 2 с решениями
Найдите задачу для урока, кружка или самостоятельной работы.
Задача № 211923
Когда из бассейна сливают воду, уровень h воды в нём меняется в зависимости от времени t по закону h(t)=at2+bt+c, а в момент t0 окончания слива выполнены равенства h(t0)=h'(t0)=0. За сколько часов вода из бассейна сливается полностью, если за первый час уровень воды в нём уменьшается вдвое?
Задача № 210153
Сумма положительных чисел a, b, c равна π/2. Докажите, что cos a + cos b + cos c > sin a + sin b + sin c.
Задача № 209533
На доске написано: x³ + ...x² + ...x + ... = 0. Два школьника по очереди вписывают вместо многоточий действительные числа. Цель первого – получить уравнение, имеющее ровно один действительный корень. Сможет ли второй ему помешать?
Задача № 186124
Числаaиbтаковы, что первое уравнение системы { cos x=ax+b sin x+a=0 имеет ровно два решения. Докажите, что система имеет хотя бы одно решение.
Задача № 186118
Числаaиbтаковы, что первое уравнение системы { sin x+a=bx cos x=b имеет ровно два решения. Докажите, что система имеет хотя бы одно решение.
Задача № 178003
Доказать, что если то x4 + a1x³ + a2x² + a3x + a4 делится на (x – x0)².
Задача № 167195
К графикам функций и провели касательные в некоторой точке их пересечения. Докажите, что эти касательные перпендикулярны друг другу для любого .
Задача № 166009
Решите уравнение f(f(x)) = f(x), если
Задача № 164894
Решите систему уравнений: .
Задача № 164411
Докажите, что при n > 0 многочлен x2n+1 – (2n + 1)xn+1 + (2n + 1)xn – 1 делится на (x – 1)³.
Задача № 164410
Докажите, что при n > 0 многочлен P(x) = n²xn+2 – (2n² + 2n – 1)xn+1 + (n + 1)²xn – x – 1 делится на (x – 1)³.
Задача № 161443
Экспонентойy=exназывается такая функция, для которой выполнены условияy'(x) =y(x) иy(0) = 1. Какая последовательность {an} будет обладать аналогичными свойствами, если производную заменить на разностный оператор?
Задача № 161408
Докажите, что для любыхx1,...,xn[0; ] справедливо неравенство: sin .
Задача № 161407
Неравенство Иенсена.Докажите, что если функцияf(x) выпукла вверх на отрезке [a;b], то для любых различных точекx1,x2, ...,xn(n2) из [a;b] и любых положительных,, ...,таких, что++...+= 1, выполняется неравенство: f (x1 +...+ xn) > f (x1) +...+ f (xn).
Задача № 161406
Докажите, что если функцияf(x) выпукла вверх на отрезке [a;b], то для любых различных точекx1,x2из [a;b] и любых положительных,таких, что+= 1 выполняется неравенство: fx1 + x2 > f (x1) + f (x2).
Задача № 161332
Метод Ньютона (см. задачу9.77) не всегда позволяет приблизиться к корню уравненияf(x) = 0. Для многочленаf(x) =x(x- 1)(x+ 1) найдите начальное условиеx0такое, чтоf(x0)x0иx2=x0.
Задача № 161327
Докажите, что касательная к графику функцииf(x), построенная в точке с координатами(x0;f(x0)) пересекает осьOxв точке с координатой x0 - .
Задача № 161288
Пусть |x1| ≤ 1 и |x2| ≤ 1. Докажите неравенство
Задача № 161265
При всех значениях параметра a найдите число действительных корней уравнения x³ – x – a = 0.
Задача № 161213
Найдите наибольшее и наименьшее значения функций а)f1(x) =acos x+bsin x; б)f2(x) =acos2x+bcos xsin x+csin2x.
Задача № 161047
В каком из двух уравнений сумма квадратов корней больше а) 4x3 – 18x2 + 24x = 8, 4x3 – 18x2 + 24x = 9; б) 4x3 – 18x2 + 24x = 11, 4x3 – 18x2 + 24x = 12?
Задача № 161025
Докажите, что при n > 0 многочлен nxn+1 – (n + 1)x n + 1 делится на (x – 1)2.
Задача № 161022
При каких A и B многочлен Axn+1 + Bxn + 1 имеет число x = 1 не менее чем двукратным корнем?
Задача № 161020
Постройте многочлен R(x) из задачи 161019, если: а) P(x) =x6– 6x4– 4x3+ 9x2+ 12x+ 4; б) P(x) =x5+x4– 2x3– 2x2+x+ 1.
1–25 из 27