Задача № 216373
Целые числа m и n таковы, что сумма целая. Верно ли, что оба слагаемых целые?
Олимпиадные задачи по теме «Действительные числа» - сложность 3 с решениями
Найдите задачу для урока, кружка или самостоятельной работы.
Задача № 215447
Докажите, что если выражение принимает рациональное значение, то и выражение также принимает рациональное значение.
Задача № 211829
В бесконечной последовательности (xn) первый член x1 – рациональное число, большее 1, и xn+1 = xn + 1/[xn] при всех натуральных n. Докажите, что в этой последовательности есть целое число.
Задача № 211805
Последовательность(an)задана условиями a1= 1000000, an+1=n[]+n . Докажите, что в ней можно выделить бесконечную подпоследовательность, являющуюся арифметической прогрессией.
Задача № 210212
При каких натуральных n найдутся такие положительные рациональные, но не целые числа a и b, что оба числа a + b и an + bn – целые?
Задача № 210085
Действительные числа x и y таковы, что для любых различных простых нечётных p и q число xp + yq рационально. Докажите, что x и y – рациональные числа.
Задача № 210047
Ненулевые числа a и b удовлетворяют равенству a²b²(a²b² + 4) = 2(a6 + b6). Докажите, что хотя бы одно из них иррационально.
Задача № 209812
Существуют ли такие попарно различные натуральные числа m, n, p, q, что m + n = p + q и
Задача № 209787
Числовое множество M, содержащее 2003 различных числа, таково, что для каждых двух различных элементов a, b из M число рационально. Докажите, что для любого a из M число рационально.
Задача № 209784
Последовательность натуральных чисел an строится следующим образом: a0 – некоторое натуральное число; an+1 = ⅕ an, если an делится на 5; an+1 = [ an], если an не делится на 5. Докажите, что начиная с некоторого члена последовательность an возрастает.
Задача № 209780
Числовое множество M , содержащее 2003 различных положительных числа, таково, что для любых трех различных элементов a,b,c из M число a2+bc рационально. Докажите, что можно выбрать такое натуральное n , что для любого a из M число a рационально.
Задача № 209715
Найдите сумму
Задача № 209704
Докажите, что при любом натуральном n справедливо неравенство
Задача № 209685
Во всех рациональных точках действительной прямой расставлены целые числа. Докажите, что найдётся такой отрезок, что сумма чисел на его концах не превосходит удвоенного числа в его середине.
Задача № 209509
Найдите все функции f(x), определенные при всех положительных x , принимающие положительные значения и удовлетворяющие при любых положительных x и y равенству f(xy)=f(x)f(y).
Задача № 209493
С ненулевым числом разрешается проделывать следующие операции: x , x . Верно ли, что из каждого ненулевого рационального числа можно получить каждое рациональное число с помощью конечного числа таких операций?
Задача № 209196
В числе a = 0,12457... n-я цифра после запятой равна цифре слева от запятой в числе Докажите, что α – иррациональное число.
Задача № 207864
Про непрерывную функциюfизвестно, что: f определена на всей числовой прямой; f в каждой точке имеет производную (и, таким образом, график f в каждой точке имеет единственную касательную); график функции f не содержит точек, у которых одна из координат рациональна, а другая — иррациональна. Следует ли отсюда, что график f — прямая?
Задача № 207838
Рассмотрим степени пятерки: 1, 5, 25, 125, 625, ... Образуем последовательность их первых цифр: 1, 5, 2, 1, 6, ... Докажите, что любой кусок этой последовательности, записанный в обратном порядке, встретится в последовательности первых цифр степеней двойки (1, 2, 4, 8, 1, 3, 6, 1, ...).
Задача № 198579
Существуют ли такие иррациональные числа a и b, что a > 1, b > 1, и [am] отлично от [bn] при любых натуральных числах m и n?
Задача № 198320
а) Квадрат разрезан на равные прямоугольные треугольники с катетами 3 и 4 каждый. Докажите, что число треугольников чётно. б) Прямоугольник разрезан на равные прямоугольные треугольники с катетами 1 и 2 каждый. Докажите, что число треугольников чётно.
Задача № 198286
Дано n чисел, p – их произведение. Разность между p и каждым из этих чисел – нечётное число. Докажите, что все данные n чисел иррациональны.
Задача № 198264
Существует ли такая сфера, на которой имеется ровно одна рациональная точка? (Рациональная точка – точка, у которой все три декартовы координаты – рациональные числа.)
Задача № 198247
Рассматривается последовательность, n-й член которой есть первая цифра числа 2n. Докажите, что количество различных "слов" длины 13 – наборов из 13 подряд идущих цифр – равно 57.
Задача № 198215
Бесконечная последовательность чисел xn определяется условиями: xn+1 = 1 – |1 – 2xn|, причём 0 ≤ x1 ≤ 1. а) Докажите, что последовательность, начиная с некоторого места, периодическая в том и только в том случае, когда x1 рационально. б) Сколько существует значений x1, для которых эта последовательность – периодическая с периодом T (для каждого T = 2, 3, ...)?
1–25 из 79