Задача № 216627
Решите неравенство: [x]·{x} < x – 1.
Олимпиадные задачи по теме «Действительные числа» для 2-9 класса
Найдите задачу для урока, кружка или самостоятельной работы.
Задача № 216373
Целые числа m и n таковы, что сумма целая. Верно ли, что оба слагаемых целые?
Задача № 215447
Докажите, что если выражение принимает рациональное значение, то и выражение также принимает рациональное значение.
Задача № 211829
В бесконечной последовательности (xn) первый член x1 – рациональное число, большее 1, и xn+1 = xn + 1/[xn] при всех натуральных n. Докажите, что в этой последовательности есть целое число.
Задача № 211805
Последовательность(an)задана условиями a1= 1000000, an+1=n[]+n . Докажите, что в ней можно выделить бесконечную подпоследовательность, являющуюся арифметической прогрессией.
Задача № 210212
При каких натуральных n найдутся такие положительные рациональные, но не целые числа a и b, что оба числа a + b и an + bn – целые?
Задача № 210047
Ненулевые числа a и b удовлетворяют равенству a²b²(a²b² + 4) = 2(a6 + b6). Докажите, что хотя бы одно из них иррационально.
Задача № 209946
Решите уравнение {(x + 1)³} = x³.
Задача № 209834
Десять попарно различных ненулевых чисел таковы, что для каждых двух из них либо сумма этих чисел, либо их произведение – рациональное число. Докажите, что квадраты всех чисел рациональны.
Задача № 209812
Существуют ли такие попарно различные натуральные числа m, n, p, q, что m + n = p + q и
Задача № 209787
Числовое множество M, содержащее 2003 различных числа, таково, что для каждых двух различных элементов a, b из M число рационально. Докажите, что для любого a из M число рационально.
Задача № 209784
Последовательность натуральных чисел an строится следующим образом: a0 – некоторое натуральное число; an+1 = ⅕ an, если an делится на 5; an+1 = [ an], если an не делится на 5. Докажите, что начиная с некоторого члена последовательность an возрастает.
Задача № 209780
Числовое множество M , содержащее 2003 различных положительных числа, таково, что для любых трех различных элементов a,b,c из M число a2+bc рационально. Докажите, что можно выбрать такое натуральное n , что для любого a из M число a рационально.
Задача № 209753
На плоскости отмечено несколько точек. Для любых трех из них существует декартова система координат (т.е. перпендикулярные оси и общий масштаб), в которой эти точки имеют целые координаты. Докажите, что существует декартова система координат, в которой все отмеченные точки имеют целые координаты.
Задача № 209715
Найдите сумму
Задача № 209704
Докажите, что при любом натуральном n справедливо неравенство
Задача № 209685
Во всех рациональных точках действительной прямой расставлены целые числа. Докажите, что найдётся такой отрезок, что сумма чисел на его концах не превосходит удвоенного числа в его середине.
Задача № 209493
С ненулевым числом разрешается проделывать следующие операции: x , x . Верно ли, что из каждого ненулевого рационального числа можно получить каждое рациональное число с помощью конечного числа таких операций?
Задача № 209196
В числе a = 0,12457... n-я цифра после запятой равна цифре слева от запятой в числе Докажите, что α – иррациональное число.
Задача № 207992
Для каждой пары действительных чиселaиbрассмотрим последовательность чиселpn= [2{an+b}]. Любыеkподряд идущих членов этой последовательности назовем словом. Верно ли, что любой упорядоченный набор из нулей и единиц длиныkбудет словом последовательности, заданной некоторымиaиbприk= 4; приk= 5? Примечание: [c] - целая часть, {c} - дробная часть числа c.
Задача № 207761
Бесконечная последовательность чисел xn определяется условиями: xn+1 = 1 – |1 – 2xn|, причём 0 ≤ x1 ≤ 1. Докажите, что последовательность, начиная с некоторого места, периодическая а) в том б) и только в том случае, когда x1 рационально.
Задача № 205220
Все имеющиеся на складе конфеты разных сортов разложены по n коробкам, на которые установлены цены в 1, 2, ..., n у. е. соответственно. Требуется купить такие k из этих коробок наименьшей суммарной стоимости, которые содержат заведомо не менее k/n массы всех конфет. Известно, что масса конфет в каждой коробке не превосходит массы конфет в любой более дорогой коробке. а) Какие коробки следует купить при n = 10 и k = 3 ? б) Тот же вопрос для произвольных натуральных n ≥ k.
Задача № 205088
Из имеющихся последовательностей {bn} и {cn} (возможно, {bn} совпадает с {cn}) разрешается получать последовательности {bn + cn}, {bn – cn}, {bncn} и {bn/cn} (если все члены последовательности {cn} отличны от 0). Кроме того, из любой имеющейся последовательности можно получить новую, вычеркнув несколько начальных членов. Сначала есть только последовательность {an}. Можно ли получить из неё описанными выше операциями последовательность {n}, то есть 1, 2, 3, 4, ..., если а) an = n²; б) в)
Задача № 202797
Решить уравнение [x³] + [x²] + [x] = {x} − 1.
Задача № 198579
Существуют ли такие иррациональные числа a и b, что a > 1, b > 1, и [am] отлично от [bn] при любых натуральных числах m и n?
1–25 из 116