Задача № 216993
Куб с ребром n составлен из белых и чёрных кубиков с ребром 1 таким образом, что каждый белый кубик имеет общую грань ровно с тремя чёрными, а каждый чёрный – ровно с тремя белыми. При каких n это возможно?
Олимпиадные задачи по теме «Комбинаторика» для 11 класса - сложность 1-3 с решениями
Найдите задачу для урока, кружка или самостоятельной работы.
Задача № 216990
Отмечены вершины и середины сторон правильного десятиугольника (то есть всего отмечено 20 точек). Сколько существует треугольников с вершинами в отмеченных точках?
Задача № 216891
В футбольном чемпионате участвуют 18 команд. На сегодняшний день проведено 8 туров (в каждом туре все команды разбиваются на пары и в каждой паре команды играют друг с другом, причём пары не повторяются). Верно ли, что найдутся три команды, которые не сыграли ни одного матча между собой?
Задача № 216885
Дан правильный девятиугольник. Сколькими способами можно выбрать три его вершины так, чтобы они являлись вершинами равнобедренного треугольника?
Задача № 216882
На какую наибольшую степень двойки делится число 1020 – 220?
Задача № 216875
Туристическая фирма провела акцию: "Купи путевку в Египет, приведи четырёх друзей, которые также купят путевку, и получи стоимость путевки обратно". За время действия акции 13 покупателей пришли сами, остальных привели друзья. Некоторые из них привели ровно по четыре новых клиента, а остальные 100 не привели никого. Сколько туристов отправились в Страну Пирамид бесплатно?
Задача № 216719
В команде сторожей у каждого есть разряд (натуральное число). Сторож N-го разряда N суток дежурит, потом N суток спит, снова N суток дежурит, N – спит, и так далее. Известно, что разряды любых двух сторожей различаются хотя бы в три раза. Может ли такая команда осуществлять ежедневное дежурство? (Приступить к дежурству сторожа могут не одновременно, в один день могут дежурить несколько сторожей.)
Задача № 216699
На собрание пришло n человек (n > 1). Оказалось, что у каждых двух из них среди собравшихся есть ровно двое общих знакомых. а) Докажите, что каждый из них знаком с одинаковым числом людей на этом собрании. б) Покажите, что n может быть больше 4.
Задача № 216570
Даны положительные числа b и c. Докажите неравенство (b – c)2011(b + c)2011(c – b)2011 ≥ (b2011 – c2011)(b2011 + c2011)(c2011 – b2011).
Задача № 216566
2011 складов соединены дорогами так, что от каждого склада можно проехать к любому другому, возможно, проехав по нескольким дорогам. На складах находится по x1, ..., x2011 кг цемента соответственно. За один рейс можно провезти с произвольного склада на другой по соединяющей их дороге произвольное количество цемента. В итоге на складах по плану должно оказаться по y1, ..., y2011 кг цемента соответственно, причём x1 + x2 + ... + x2011 = y1 + y2 + ... + y2011. За какое минимальное количество рейсов можно выполнить план при любых значениях чисел xi и yi и любой схеме дорог?
Задача № 216444
В шахматном турнире было 12 участников (каждый сыграл с каждым по одному разу). По итогам турнира оказалось, что есть 9 участников, каждый из которых набрал не более 4 очков. Известно, что Петя набрал ровно 9 очков. Как он сыграл с каждым из двух остальных шахматистов? (Победа – 1 очко, ничья – 0,5 очка, поражение – 0 очков.)
Задача № 216441
В некотором государстве система авиалиний устроена таким образом, что каждый город соединен авиалиниями не более чем с тремя другими, и из каждого города можно попасть в любой другой, сделав не более одной пересадки. Какое наибольшее количество городов может быть в этом государстве?
Задача № 216272
В стране 100 городов и несколько дорог. Каждая дорога соединяет два каких-то города, дороги не пересекаются. Из каждого города можно добраться до любого другого, двигаясь по дорогам. Докажите, что можно объявить несколько дорог главными так, чтобы из каждого города выходило нечётное число главных дорог.
Задача № 216247
В стране две столицы и несколько городов, некоторые из них соединены дорогами. Среди дорог есть платные. Известно, что на любом пути из южной столицы в северную имеется не меньше 10 платных дорог. Докажите, что все платные дороги можно раздать 10 компаниям так, чтобы на любом пути из южной столицы в северную имелись дороги каждой из компаний.
Задача № 216242
На новом сайте зарегистрировалось 2000 человек. Каждый пригласил к себе в друзья по 1000 человек. Два человека объявляются друзьями тогда и только тогда, когда каждый из них пригласил другого в друзья. Какое наименьшее количество пар друзей могло образоваться?
Задача № 216047
В некой стране 100 городов (города считайте точками на плоскости). В справочнике для каждой пары городов имеется запись, каково расстояние между ними (всего 4950 записей). а) Одна запись стёрлась. Всегда ли можно однозначно восстановить её по остальным? б) Пусть стёрлись k записей, и известно, что в этой стране никакие три города не лежат на одной прямой. При каком наибольшем k всегда можно однозначно восстановить стёршиеся записи?
Задача № 215978
Игра в "супершахматы" ведётся на доске размером 100×100, и в ней участвует 20 различных фигур, каждая из которых ходит по своим правилам. Известно, что любая фигура с любого места бьет не более 20 полей (но больше о правилах ничего не сказано, например, если фигуру А передвинуть, то о том, как изменится множество битых полей мы ничего не знаем). Докажите, что можно расставить на доске все 20 фигур так, чтобы ни одна из них не била другую.
Задача № 215709
Боря и Миша едут в поезде и считают столбы за окном: "один, два, ...". Боря не выговаривает букву "Р", поэтому при счете он пропускает числа, в названии которых есть буква "Р", а называет сразу следующее число без буквы "Р". Миша не выговаривает букву "Ш", поэтому пропускает числа с буквой "Ш". У Бори последний столб получил номер "сто". Какой номер этот столб получил у Миши?
Задача № 215396
В стране некоторые пары городов соединены дорогами, которые не пересекаются вне городов. В каждом городе установлена табличка, на которой указана минимальная длина маршрута, выходящего из этого города и проходящего по всем остальным городам страны (маршрут может проходить по некоторым городам больше одного раза и не обязан возвращаться в исходный город). Докажите, что любые два числа на табличках отличаются не более чем в полтора раза.
Задача № 215364
Назовём лестницей высоты n фигуру, состоящую из всех клеток квадрата n×n, лежащих не выше диагонали (на рисунке показана лестница высоты 4). Сколькими различными способами можно разбить лестницу высоты n на несколько прямоугольников, стороны которых идут по линиям сетки, а площади попарно различны?
Задача № 211922
Докажите, что при любых натуральных 0
Задача № 211685
Барон Мюнхгаузен рассказывал, что у него есть карта страны Оз с пятью городами. Каждые два города соединены дорогой, не проходящей через другие города. Каждая дорога пересекает на карте не более одной другой дороги (и не более одного раза). Дороги обозначены жёлтым или красным (по цвету кирпича, которым вымощены), и при обходе вокруг каждого города (по периметру) цвета выходящих из него дорог чередуются. Могут ли слова барона быть правдой?
Задача № 211648
У Алёши есть пирожные, разложенные в несколько коробок. Алёша записал, сколько пирожных в каждой коробке. Серёжа взял по одному пирожному из каждой коробки и положил их на первый поднос. Затем он снова взял по одному пирожному из каждой непустой коробки и положил их на второй поднос – и так далее, пока все пирожные не оказались разложенными по подносам. После этого Серёжа записал, сколько пирожных на каждом подносе. Докажите, что количество различных чисел среди записанных Алёшей равно количеству различных чисел среди записанных Серёжей.
Задача № 211260
Клетчатая прямоугольная сетка m×n связана из верёвочек единичной длины. Двое делают ходы по очереди. За один ход можно разрезать (посередине) не разрезанную ранее единичную верёвочку. Если не останется ни одного замкнутого верёвочного контура, то игрок, сделавший последний ход, считается проигравшим. Кто из игроков победит при правильной игре и как он должен для этого играть?
Задача № 211039
Дано 101-элементное подмножество A множества S = {1, 2, ..., 1000000}. Докажите, что для некоторых t1, ..., t100 из S множества Aj = {x + tj | x ∈ A; j = 1, ..., 100} попарно не пересекаются.
1–25 из 267