Задача № 211903
Начертите два четырехугольника с вершинами в узлах сетки, из которых можно сложить а) как треугольник, так и пятиугольник; б) и треугольник, и четырехугольник, и пятиугольник. Покажите, как это можно сделать.
Олимпиадные задачи по теме «Геометрия» для 7 класса - сложность 4 с решениями
Найдите задачу для урока, кружка или самостоятельной работы.
Задача № 209793
Можно ли в клетках бесконечного клетчатого листа расставить натуральные числа таким образом, чтобы при любых натуральных m, n > 100 сумма чисел в любом прямоугольнике m×n клеток делилась на m + n?
Задача № 207627
Петя разрезал прямоугольный лист бумаги по прямой. Затем он разрезал по прямой один из получившихся кусков. Затем он проделал то же самое с одним из трёх получившихся кусков и т.д. Докажите, что после достаточного количества разрезаний можно будет выбрать среди получившихся кусков 100 многоугольников с одинаковым числом вершин (например, 100 треугольников или 100 четырёхугольников и т.д.).
Задача № 205173
а) Из картона вырезали 7 выпуклых многоугольников и положили на стол так, что любые 6 из них можно прибить к столу двумя гвоздями, а все 7 нельзя. Приведите пример таких многоугольников и их расположения. (Многоугольники могут перекрываться.) б) Из картона вырезали 8 выпуклых многоугольников и положили на стол так, что любые 7 из них можно прибить к столу двумя гвоздями, а все 8 — нельзя. Приведите пример таких многоугольников и их расположения. (Многоугольники могут перекрываться.)
Задача № 204006
а) Наконец, у Снежной Королевы появились все квадраты с целыми сторонами, но каждый в единственном экземпляре. Королева пообещала Каю, что он станет мудрым, если сможет из каких-то имеющихся квадратов сложить прямоугольник. Сможет ли он это сделать? б) Отдыхая, Кай стал заполнять стеклянный аквариум ледяными кубиками, которые лежали рядом. Кубики были самых разных размеров, но среди них не было двух одинаковых. Сможет ли Кай заполнить аквариум кубиками целиком?
Задача № 197913
Каждая клетка шахматной доски закрашена в один из цветов – синий или красный. Докажите, что клетки одного из цветов обладают тем свойством, что их может обойти шахматный ферзь (на клетках этого цвета ферзь может побывать не один раз, на клетки другого цвета он не ставится, но может через них перепрыгивать).
Задача № 179645
См. задачу 179385 в) и г).
Задача № 173825
Для каких n существует такая замкнутая несамопересекающаяся ломаная из n звеньев, что каждая прямая, содержащая одно из звеньев этой ломаной, содержит ещё хотя бы одно её звено?
Задача № 173667
По окружности выписаны n чисел x1, x2, ..., xn, каждое из которых равно 1 или –1, причём сумма произведений соседних чисел равна нулю и вообще для каждого k = 1, 2, ..., n – 1 сумма n произведений чисел, отстоящих друг от друга на k мест, равна нулю (то есть x1x2 + x2x3 + ... + xnx1 = 0, x1x3 + x2x4 + ... + xnx2 = 0, x1x4 + x2x5 + ... + xnx3 = 0 и так далее; например, для n = 4 можно взять одно из чисел равным –1, а три других – равными 1). а) Докажите, что n – квадрат целого числа. б)* Существует ли такой набор чисел для n = 16?
Задача № 173555
Можно ли разбить правильный треугольник на миллион многоугольников так, чтобы никакая прямая не пересекала более сорока из этих многоугольников?Мы говорим, что прямая пересекает многоугольник, если она имеет с ним хотя бы одну общую точку.
Задача № 167181
На сторонах равностороннего треугольника построены во внешнюю сторону треугольники , , так, что получился шестиугольник , в котором каждый из углов , , больше , а для сторон выполняются равенства , , . Докажите, что из отрезков , , можно составить треугольник.
Задача № 158295
На плоскости расположеноn5 окружностей так, что любые три из них имеют общую точку. Докажите, что тогда и все окружности имеют общую точку.
Задача № 158294
На окружности отметили 4nточек и окрасили их через одну в красный и синий цвета. Точки каждого цвета разбили на пары, а точки каждой пары соединили отрезками того же цвета. Докажите, что если никакие три отрезка не пересекаются в одной точке, то найдется по крайней мере nточек пересечения красных отрезков с синими.
Задача № 158293
Точка O, лежащая внутри выпуклого многоугольникаA1...An, обладает тем свойством, что любая прямаяOAiсодержит еще одну вершину Aj. Докажите, что кроме точки Oникакая другая точка не обладает этим свойством.
Задача № 158230
а) Докажите, что любой неравносторонний треугольник можно разрезать на неравные треугольники, подобные исходному. б) Докажите, что правильный треугольник нельзя разрезать на неравные правильные треугольники.
Задача № 158088
В парке растет 10000 деревьев, посаженных квадратно-гнездовым способом (100 рядов по 100 деревьев). Какое наибольшее число деревьев можно срубить, чтобы выполнялось следующее условие: если встать на любой пень, то не будет видно ни одного другого пня? (Деревья можно считать достаточно тонкими.)
Задача № 156665
Дана окружность и точка вне её; из этой точки мы совершаем путь по замкнутой ломаной, состоящей из отрезков прямых, касательных к окружности, и заканчиваем путь в начальной точке. Участки пути, по которым мы приближались к центру окружности, берём со знаком плюс, а участки пути, по которым мы удалялись от центра, — со знаком минус. Докажите, что для любого такого пути сумма длин участков пути, взятых с указанными знаками, равна нулю.
Задача № 156664
На каждой стороне четырехугольника ABCDвзято по две точки, и они соединены так, как показано на рис. Докажите, что если все пять заштрихованных четырехугольников описанные, то четырехугольник ABCDтоже описанный.
Задача № 156663
Дан параллелограмм ABCD. Вневписанная окружность треугольникаABDкасается продолжений сторон ADи ABв точках Mи N. Докажите, что точки пересечения отрезка MNс BCи CDлежат на вписанной окружности треугольника BCD.
Задача № 156662
К двум окружностям различного радиуса проведены общие внешние касательные ABи CD. Докажите, что четырехугольник ABCDописанный тогда и только тогда, когда окружности касаются.
Задача № 156553
Многоугольник A1A2...A2nвписанный. Про все пары его противоположных сторон, кроме одной, известно, что они параллельны. Докажите, что при nнечетном оставшаяся пара сторон тоже параллельна, а при nчетном оставшаяся пара сторон равна по длине.