Олимпиадные задачи по теме «Геометрия» для 10 класса - сложность 1 с решениями
Найдите объём правильной шестиугольной пирамиды со стороной основания<i> a </i>и углом<i> α </i>бокового ребра с плоскостью основания.
Найдите объём правильной четырёхугольной пирамиды с высотой<i> h </i>и углом<i> β </i>боковой грани с плоскостью основания.
Найдите объём правильной четырёхугольной пирамиды с боковым ребром<i> b </i>и углом<i> β </i>боковой грани с плоскостью основания.
Найдите объём правильной четырёхугольной пирамиды со стороной основания<i> a </i>и углом<i> β </i>боковой грани с плоскостью основания.
Найдите объём правильной четырёхугольной пирамиды со стороной основания<i> a </i>и углом<i> α </i>бокового ребра с плоскостью основания.
Вписанная в тетраэдр<i> ABCD </i>сфера касается его граней<i> ABC </i>,<i> ABD </i>,<i> ACD </i>и<i> BCD </i>в точках<i> D<sub>1</sub> </i>,<i> C<sub>1</sub> </i>,<i> B<sub>1</sub> </i>и<i> A<sub>1</sub> </i>соответственно. Рассмотрим плоскость, равноудаленную от точки<i> A </i>и плоскости<i> B<sub>1</sub>C<sub>1</sub>D<sub>1</sub> </i>и три другие аналогично построенные плоскости. Докажите, что тетраэдр, образованный этими четырьмя плоскостями, имеет тот же центр описанной сферы, что и тетраэдр<i> ABCD </i>.
Найдите объём правильной треугольной пирамиды с высотой<i> h </i>и углом<i> α </i>бокового ребра с плоскостью основания.
Найдите объём правильной треугольной пирамиды с боковым ребром<i> b </i>и углом<i> α </i>бокового ребра с плоскостью основания.
Найдите объём правильной треугольной пирамиды со стороной основания<i> a </i>и углом<i> β </i>боковой грани с плоскостью основания.
Найдите объём правильной треугольной пирамиды со стороной основания<i> a </i>и углом<i> α </i>бокового ребра с плоскостью основания,
Найдите объём правильной шестиугольной пирамиды со стороной основания<i> a </i>и боковым ребром<i> b </i>.
Найдите объём правильной шестиугольной пирамиды со стороной основания<i> a </i>и высотой<i> h </i>.
Найдите объём правильной четырёхугольной пирамиды со стороной основания<i> a </i>боковым ребром<i> b </i>.
Найдите объём правильной четырёхугольной пирамиды со стороной основания<i> a </i>и высотой<i> h </i>.
Найдите объём правильной треугольной пирамиды со стороной основания<i> a </i>и боковым ребром<i> b </i>.
Найдите объём правильной треугольной пирамиды со стороной основания<i> a </i>и высотой<i> h </i>.
Найдите объём правильной треугольной призмы, все рёбра которой равны 1.
Найдите угол при вершине осевого сечения конуса, если образующая конуса в два раза больше его высоты.
Высота конуса равна<i> h </i>, а образующая равна<i> l </i>. Найдите радиус основания и площадь осевого сечения.
Точки<i> A </i>,<i> B </i>,<i> C </i>и<i> D </i>не лежат в одной плоскости. Докажите, что прямые<i> AB </i>и<i> CD </i>не пересекаются.
Сторона основания правильной треугольной пирамиды равна<i> a </i>. Боковое ребро образует с плоскостью основания угол60<i><sup>o</sup> </i>. Найдите высоту пирамиды.
Даны точки <i>A</i>(0;0), <i>B</i>(- 2;1), <i>C</i>(3;3), <i>D</i>(2; - 1) и окружность <!-- MATH $(x - 1)^{2} + (y + 3)^{2} = 25$ --> (<i>x</i> - 1)<sup>2</sup> + (<i>y</i> + 3)<sup>2</sup> = 25. Выясните, где расположены эти точки: на окружности, внутри или вне окружности.
Можно ли покрасить четыре вершины куба в красный цвет и четыре другие – в синий так, чтобы плоскость, проходящая через любые три точки одного цвета, содержала точку другого цвета?
Доказать, что в вершинах многогранника можно расставить натуральные числа так, что в каждых двух вершинах, соединённых ребром, стоят числа не взаимно простые, а в каждых двух вершинах, не соединённых ребром, взаимно простые.
<i>Примечание</i>: простых чисел бесконечно много.
Каждую грань кубика разбили на четыре равных квадрата и раскрасили эти квадраты в три цвета так, чтобы квадраты, имеющие общую сторону, были покрашены в разные цвета. Докажите, что в каждый цвет покрашено по 8 квадратиков.