Найдите задачу для урока, кружка или самостоятельной работы.
Пустьl1,l2, ...,ln —несколько прямых на плоскости, не все из которых параллельны. Докажите, что можно единственным образом выбрать на каждой из этих прямых по точкеX1,X2, ...,Xnтак, чтобы перпендикуляр, восставленный к прямойlkв точкеXk(для любого натуральногоk < n),проходил через точкуXk + 1, а перпендикуляр, восставленный к прямойlnвточке Xn,проходил черезточку X1.Попробуйте сформулировать и доказать аналогичную теорему в пространстве.
Дан эллипс с фокусом . Две перпендикулярные прямые, проходящие через , пересекают эллипс в четырех точках. Касательные к эллипсу в этих точках образуют описанный вокруг эллипса четырехугольник. Докажите, что этот четырехугольник вписан в конику с фокусом .
На плоскости дана окружность. Докажите, что при помощи одной линейки нельзя построить ее центр.
Докажите, что при помощи одной линейки нельзя разделить данный отрезок пополам.
а) Дана некоторая окружность. При помощи одной линейки постройтеn-угольник, стороны которого проходят через данные nточек, а вершины лежат на nданных прямых. б) При помощи одной линейки впишите в данную окружностьn-угольник, стороны которого проходят через данные nточек. в) При помощи циркуля и линейки впишите в данную окружность многоугольник, у которого некоторые стороны проходят через данные точки, некоторые другие параллельны данным прямым, а остальные имеют данные длины (о каждой стороне имеется информация одного из трех перечисленных типов).
а) Даны прямая lи точка Pвне ее. Циркулем и линейкой постройте на lотрезокXYданной длины, который виден из Pпод данным углом . б) Даны две прямые l1и l2и точки Pи Q, не лежащие на этих прямых. Циркулем и линейкой постройте на прямой l1точку Xи на прямой l2точку Yтак, что отрезокXYвиден из точки Pпод данным углом , а из точки Q — под данным углом .
Даны окружность Sи две хордыABи CD. Циркулем и линейкой постройте на окружности такую точку X, чтобы прямыеAXи BXвысекали наCDотрезок а) имеющий данную длину a; б) делящийся пополам в данной точке EхордыCD.
Циркулем и линейкой проведите через данную точку прямую, на которой три данные прямые высекают равные отрезки.
Точки Aи Bлежат на прямых aи bсоответственно, а точка Pне лежит ни на одной из этих прямых. Циркулем и линейкой проведите через Pпрямую, пересекающую прямые aи bв точках Xи Yсоответственно таких, что длины отрезковAXи BYимеют а) данное отношение; б) данное произведение.
Даны две прямые l1и l2и две точки Aи B, не лежащие на этих прямых. Циркулем и линейкой постройте на прямой l1такую точку X, чтобы прямыеAXи BXвысекали на прямой l2отрезок, а) имеющий данную длину a; б) делящийся пополам в данной точке Eпрямой l2.
Даны окружность, прямая и точки A,A',B,B',C,C',M, лежащие на этой прямой. Согласно задачам 30.1и 30.3существует единственное проективное преобразование данной прямой на себя, отображающее точки A,B,Cсоответственно в A',B',C'. Обозначим это преобразование через P. Постройте при помощи одной линейки а) точкуP(M); б) неподвижные точки отображения P(задача Штейнера).
Точки A,B,C,D,E,Fлежат на одной окружности. Докажите, что точки пересечения прямыхABи DE,BCи EF,CDи FAлежат на одной прямой (Паскаль).
Используя проективные преобразования прямой, решите задачу о бабочке (задача 30.44).
Используя проективные преобразования прямой, докажите теорему Паппа (задача 30.27).
Используя проективные преобразования прямой, докажите теорему о полном четырехстороннике (задача 30.34).
На сторонеABчетырехугольникаABCDвзята точка M1. Пусть M2 — проекция M1на прямуюBCиз D,M3 — проекция M2наCDиз A,M4 — проекция M3наDAиз B,M5 — проекция M4наABиз Cи т. д. Докажите, чтоM13=M1(а значит,M14=M2,M15=M3и т. д.).
Точки A,B,Cи Dлежат на окружности,SAи SD — касательные к этой окружности,Pи Q — точки пересечения прямыхABи CD,ACи BDсоответственно. Докажите, что точки P,Qи Sлежат на одной прямой.
ПустьABCDEF — описанный шестиугольник. Докажите, что его диагоналиAD,BEи CFпересекаются в одной точке (Брианшон).
Вневписанная окружность треугольникаABCкасается стороныBCв точке D, а продолжений сторонABи AC — в точках Eи F. Пусть T — точка пересечения прямыхBFи CE. Докажите, что точки A,Dи Tлежат на одной прямой.
Даны окружность S, точка P, расположенная вне S, и прямая l, проходящая через Pи пересекающая окружность в точках Aи B. Точку пересечения касательных к окружности в точках Aи Bобозначим через K. а) Рассмотрим всевозможные прямые, проходящие через Pи пересекающиеAKи BKв точках Mи N. Докажите, что геометрическим местом точек пересечения отличных отAKи BKкасательных к S, проведенных из точек Mи N, является некоторая прямая, проходящая через K, из которой выкинуто ее пересечение с внутренностью S. б) Будем на окружности разными способами выбирать точку Rи проводить прямую, соединяющую отличные от...
Даны окружность S, прямая l, точка M, лежащая на Sи не лежащая на l, и точка O, не лежащая на S. Рассмотрим преобразование Pпрямой l, являющееся композицией проектирования lна Sиз M,Sна себя из Oи Sна lиз M, т. е.P(A) — пересечение прямых lи MC, где C — отличная от Bточка пересечения Sс прямойOB, а B — отличная от Aточка пересечения Sс прямойMA. Докажите, что преобразование Pпроективно.
а) Через точку Pпроводятся всевозможные секущие окружности S. Найдите геометрическое место точек пересечения касательных к окружности S, проведенных в двух точках пересечения окружности с секущей. б) Через точку Pпроводятся всевозможные пары секущихABи CDокружности S(A,B,C,D — точки пересечения с окружностью). Найдите геометрическое место точек пересечения прямыхACи BD.
Докажите, что прямые, соединяющие вершины треугольника с точками касания противоположных сторон с вписанной окружностью, пересекаются в одной точке.
Докажите, что прямые, соединяющие противоположные точки касания описанного четырехугольника, проходят через точку пересечения диагоналей.
Докажите, что для любого нечетногоn3 на плоскости можно указать 2nразличных точек, не лежащих на одной прямой, и разбить их на пары так, чтобы любая прямая, проходящая через две точки из разных пар, проходила бы еще через одну из этих 2nточек.