Задача № 216995
В треугольнике ABC угол B равен 60°. Точка D внутри треугольника такова, что ∠ADB = ∠ADC = ∠BDC. Найдите наименьшее значение площади треугольника ABC, если BD = a.
Олимпиадные задачи по теме «Планиметрия» для 9 класса
Найдите задачу для урока, кружка или самостоятельной работы.
Задача № 216992
В треугольнике АВС проведена биссектриса АА1. Докажите, что серединный перпендикуляр к АА1, перпендикуляр к ВС, проходящий через точку А1, и прямая АО (О – центр описанной окружности) пересекаются в одной точке.
Задача № 216990
Отмечены вершины и середины сторон правильного десятиугольника (то есть всего отмечено 20 точек). Сколько существует треугольников с вершинами в отмеченных точках?
Задача № 216989
Центр О окружности, описанной около четырёхугольника АВСD, лежит внутри него. Найдите площадь четырёхугольника, если ∠ВАО = ∠DAC, AC = m, BD = n.
Задача № 216986
Можно ли расположить на плоскости три вектора так, чтобы модуль суммы каждых двух из них был равен 1, а сумма всех трёх была равна нулевому вектору?
Задача № 216952
Три попарно непересекающиеся окружности ωx, ωy, ωz радиусов rx, ry, rz лежат по одну сторону от прямой t и касаются её в точках X, Y, Z соответственно. Известно, что Y – середина отрезка XZ, rx = rz = r, а ry > r. Пусть p – одна из общих внутренних касательных к окружностям ωx и ωy, а q – одна из общих внутренних касательных к окружностям ωy и ωz. В пересечении прямых p, q, t образовался неравнобедренный треугольник. Докажите, что радиус его вписанной окружности равен r.
Задача № 216950
В окружность Ω вписан остроугольный треугольник ABC, в котором AB > BC. Пусть P и Q – середины меньшей и большей дуг AC окружности Ω, соответственно, а M – основание перпендикуляра, опущенного из точки Q на отрезок AB. Докажите, что описанная окружность треугольника BMC делит пополам отрезок BP.
Задача № 216946
На окружности длины 2013 отмечены 2013 точек, делящих её на равные дуги. В каждой отмеченной точке стоит фишка. Назовём расстоянием между двумя точками длину меньшей дуги между ними. При каком наибольшем n можно переставить фишки так, чтобы снова в каждой отмеченной точке было по фишке, а расстояние между любыми двумя фишками, изначально удалёнными не более чем на n, увеличилось?
Задача № 216945
К двум непересекающимся окружностям ω1 и ω2 проведены три общие касательные – две внешние, a и b, и одна внутренняя, c. Прямые a, b и c касаются окружности ω1 в точках A1, B1 и C1 соответственно, а окружности ω2 – в точках A2, B2 и C2 соответственно. Докажите, что отношение площадей треугольников A1B1C1 и A2B2C2 равно отношению радиусов окружностей ω1 и ω2.
Задача № 216941
Даны три квадратных трёхчлена P(x), Q(x) и R(x) с положительными старшими коэффициентами, имеющие по два различных корня. Оказалось, что при подстановке корней трёхчлена R(x) в многочлен P(x) + Q(x) получаются равные значения. Аналогично при подстановке корней трёхчлена P(x) в многочлен Q(x) + R(x) получаются равные значения, а также при подстановке корней трёхчлена Q(x) в многочлен P(x) + R(x) получаются равные значения. Докажите, что три числа: сумма корней трёхчлена P(x), сумма корней трёхчлена Q(x) и сумма корней трёхчлена R(x) равны между собой.
Задача № 216940
В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты AA1 и CC1. Описанная окружность Ω треугольника ABC пересекает прямую A1C1 в точках A' и C'. Касательные к Ω, проведённые в точках A' и C', пересекаются в точке B'. Докажите, что прямая BB' проходит через центр окружности Ω.
Задача № 216937
Серединный перпендикуляр к стороне AC неравнобедренного остроугольного треугольника ABC пересекает прямые AB и BC в точках B1 и B2 соответственно, а серединный перпендикуляр к стороне AB пересекает прямые AC и BC в точках C1 и C2 соответственно. Описанные окружности треугольников BB1B2 и CC1C2 пересекаются в точках P и Q. Докажите, что центр описанной окружности треугольника ABC лежит на прямой PQ.
Задача № 216932
Окружность, вписанная в прямоугольный треугольник ABC с гипотенузой AB, касается его сторон BC, CA, AB в точках A1, B1, C1 соответственно. Пусть B1H – высота треугольника A1B1C1. Докажите, что точка H лежит на биссектрисе угла CAB.
Задача № 216929
На сторонах АВ, ВС и АС равностороннего треугольника АВС выбраны точки K, M и N соответственно так, что угол MKB равен углу MNC, а угол KMB равен углу KNA. Докажите, что NB – биссектриса угла MNK.
Задача № 216926
В треугольнике ABC медиана, проведённая из вершины A к стороне BC, в четыре раза меньше стороны AB и образует с ней угол 60°. Найдите угол А.
Задача № 216923
В четырёхугольнике есть два прямых угла, а его диагонали равны. Верно ли, что он является прямоугольником?
Задача № 216920
На клетчатой бумаге нарисован квадрат 7×7. Покажите, как разрезать его по линиям сетки на шесть частей и сложить из них три квадрата.
Задача № 216918
На стороне BC квадрата ABCD выбрали точку M. Пусть X, Y, Z – центры окружностей, вписанных в треугольники ABM, CMD, AMD соответственно; Hx, Hy, Hz – ортоцентры треугольников AXB, CYD, AZD соответственно. Докажите, что точки Hx, Hy, Hz лежат на одной прямой.
Задача № 216917
Дан треугольник ABC. Касательная в точке C к его описанной окружности пересекает прямую AB в точке D. Касательные к описанной окружности треугольника ACD в точках A и C пересекаются в точке K. Докажите, что прямая DK делит отрезок BC пополам.
Задача № 216915
В окружность Ω вписан четырёхугольник ABCD, диагонали AC и BD которого перпендикулярны. На сторонах AB и CD во внешнюю сторону как на диаметрах построены дуги α и β. Рассмотрим две луночки, образованные окружностью Ω и дугами α и β (см. рис.). Докажите, что максимальные радиусы окружностей, вписанных в эти луночки, равны.
Задача № 216914
Дан квадрат. Найдите геометрическое место середин гипотенуз прямоугольных треугольников, вершины которых лежат на попарно различных сторонах квадрата и не совпадают с его вершинами.
Задача № 216913
Пусть M и I – точки пересечения медиан и биссектрис неравнобедренного треугольника ABC, а r – радиус вписанной в него окружности. Докажите, что MI = r/3 тогда и только тогда, когда прямая MI перпендикулярна одной из сторон треугольника.
Задача № 216912
Точку внутри треугольника назовём хорошей, если длины проходящих через неё чевиан обратно пропорциональны длинам соответствующих сторон. Найдите все треугольники, для которых число хороших точек – максимально возможное.
Задача № 216910
Пусть AH – высота остроугольного треугольника ABC, а точки K и L – проекции H на стороны AB и AC. Описанная окружность Ω треугольника ABC пересекает прямую KL в точках P и Q, а прямую AH – в точках A и T. Докажите, что точка H является центром вписанной окружности треугольника PQT.
Задача № 216909
В выпуклом пятиугольнике P провели все диагонали, в результате чего он оказался разбитым на десять треугольников и один пятиугольник P'. Из суммы площадей треугольников, прилегающих к сторонам P, вычли площадь P'; получилось число N. Совершив те же операции с пятиугольником P', получили число N'. Докажите, что N > N'.
1–25 из 8748