Найдите задачу для урока, кружка или самостоятельной работы.
Петя разрезал прямоугольный лист бумаги по прямой. Затем он разрезал по прямой один из получившихся кусков. Затем он проделал то же самое с одним из трёх получившихся кусков и т.д. Докажите, что после достаточного количества разрезаний можно будет выбрать среди получившихся кусков 100 многоугольников с одинаковым числом вершин (например, 100 треугольников или 100 четырёхугольников и т.д.).
а) Из картона вырезали 7 выпуклых многоугольников и положили на стол так, что любые 6 из них можно прибить к столу двумя гвоздями, а все 7 нельзя. Приведите пример таких многоугольников и их расположения. (Многоугольники могут перекрываться.) б) Из картона вырезали 8 выпуклых многоугольников и положили на стол так, что любые 7 из них можно прибить к столу двумя гвоздями, а все 8 — нельзя. Приведите пример таких многоугольников и их расположения. (Многоугольники могут перекрываться.)
См. задачу 179385 в) и г).
Для каких n существует такая замкнутая несамопересекающаяся ломаная из n звеньев, что каждая прямая, содержащая одно из звеньев этой ломаной, содержит ещё хотя бы одно её звено?
По окружности выписаны n чисел x1, x2, ..., xn, каждое из которых равно 1 или –1, причём сумма произведений соседних чисел равна нулю и вообще для каждого k = 1, 2, ..., n – 1 сумма n произведений чисел, отстоящих друг от друга на k мест, равна нулю (то есть x1x2 + x2x3 + ... + xnx1 = 0, x1x3 + x2x4 + ... + xnx2 = 0, x1x4 + x2x5 + ... + xnx3 = 0 и так далее; например, для n = 4 можно взять одно из чисел равным –1, а три других – равными 1). а) Докажите, что n – квадрат целого числа. б)* Существует ли такой набор чисел для n = 16?
Можно ли разбить правильный треугольник на миллион многоугольников так, чтобы никакая прямая не пересекала более сорока из этих многоугольников?Мы говорим, что прямая пересекает многоугольник, если она имеет с ним хотя бы одну общую точку.
На сторонах равностороннего треугольника построены во внешнюю сторону треугольники , , так, что получился шестиугольник , в котором каждый из углов , , больше , а для сторон выполняются равенства , , . Докажите, что из отрезков , , можно составить треугольник.
Дана окружность и точка вне её; из этой точки мы совершаем путь по замкнутой ломаной, состоящей из отрезков прямых, касательных к окружности, и заканчиваем путь в начальной точке. Участки пути, по которым мы приближались к центру окружности, берём со знаком плюс, а участки пути, по которым мы удалялись от центра, — со знаком минус. Докажите, что для любого такого пути сумма длин участков пути, взятых с указанными знаками, равна нулю.
На каждой стороне четырехугольника ABCDвзято по две точки, и они соединены так, как показано на рис. Докажите, что если все пять заштрихованных четырехугольников описанные, то четырехугольник ABCDтоже описанный.
Дан параллелограмм ABCD. Вневписанная окружность треугольникаABDкасается продолжений сторон ADи ABв точках Mи N. Докажите, что точки пересечения отрезка MNс BCи CDлежат на вписанной окружности треугольника BCD.
К двум окружностям различного радиуса проведены общие внешние касательные ABи CD. Докажите, что четырехугольник ABCDописанный тогда и только тогда, когда окружности касаются.
Многоугольник A1A2...A2nвписанный. Про все пары его противоположных сторон, кроме одной, известно, что они параллельны. Докажите, что при nнечетном оставшаяся пара сторон тоже параллельна, а при nчетном оставшаяся пара сторон равна по длине.