Задача № 215880
Верно ли, что при любом n правильный 2n-угольник является проекцией некоторого многогранника, имеющего не более, чем n + 2 грани?
Олимпиадные задачи по теме «Аффинная геометрия» - сложность 3-4 с решениями
Найдите задачу для урока, кружка или самостоятельной работы.
Задача № 215878
Дан четырёхугольник ABCD, противоположные стороны которого пересекаются в точках P и Q. Две прямые, проходящие через эти точки, пересекают стороны четырёхугольника в четырёх точках, являющихся вершинами параллелограмма. Докажите, что центр этого параллелограмма лежит на прямой, соединяющей середины диагоналей ABCD.
Задача № 186117
В пространстве даны 200 точек. Каждые две из них соединены отрезком, причём отрезки не пересекаются друг с другом. Первый игрок красит каждый отрезок в один из k цветов, затем второй игрок красит в один из тех же цветов каждую точку. Если найдутся две точки и отрезок между ними, окрашенные в один цвет, выигрывает первый игрок, в противном случае второй. Докажите, что первый может гарантировать себе выигрыш, если а) k = 7; б) k = 10.
Задача № 178040
На плоскости даны две прямые, пересекающиеся под острым углом. В направлении одной из прямых производится сжатие с коэффициентом 1/2. Доказать, что найдется точка, расстояние от которой до точки пересечения прямых увеличится.
Задача № 167104
Пусть – центр вписанной окружности треугольника , а – точка пересечения с внешней биссектрисой угла . Прямая пересекает внешние биссектрисы углов и в точках и . Докажите, что .
Задача № 166978
В неравнобедренном треугольнике точки , , – середины сторон , , соответственно. Биссектриса угла пересекает прямые и в точках и . Докажите, что прямые , и пересекаются в одной точке.
Задача № 166946
Докажите, что две изотомические прямые треугольника не могут пересекаться внутри его серединного треугольника. ( Изотомическими прямыми треугольника называются две прямые, точки пересечения которых с прямыми , , симметричны относительно середин соответствующих сторон треугольника.)
Задача № 165049
Дан треугольник ABC и прямая l, пересекающая BC, CA и AB в точках A1, B1 и C1 соответственно. Точка A' – середина отрезка, соединяющего проекции A1 на AB и AC. Аналогично определяются точки B' и C'. а) Докажите, что A', B' и C' лежат на некоторой прямой l'. б) Докажите, что, если l проходит через центр описанной окружности треугольника ABC, то l' проходит через центр его окружности девяти точек.
Задача № 158384
На сторонахAB,BCи ACтреугольникаABCданы точки M,Nи Pсоответственно. Докажите: а) если точки M1,N1и P1симметричны точкам M,Nи Pотносительно середин соответствующих сторон, тоSMNP=SM1N1P1. б) если M1,N1и P1 — такие точки сторонAC,BAи CB, чтоMM1|BC,NN1|CAи PP1|AB, тоSMNP=SM1N1P1.
Задача № 158383
В параллелограммеABCDточки A1,B1,C1,D1лежат соответственно на сторонахAB,BC,CD,DA. На сторонахA1B1,B1C1,C1D1,D1A1четырехугольникаA1B1C1D1взяты соответственно точки A2,B2,C2,D2. Известно, что = = = = = = = . Докажите, чтоA2B2C2D2 — параллелограмм со сторонами, параллельными сторонамABCD.
Задача № 158368
Докажите, что любое аффинное преобразование можно представить в виде композиции двух растяжений и аффинного преобразования, переводящего любой треугольник в подобный ему треугольник.
Задача № 158367
Докажите, что если при аффинном (не тождественном) преобразовании Lкаждая точка некоторой прямой lпереходит в себя, то все прямые видаML(M), где в качестве Mберутся произвольные точки, не лежащие на прямой l, параллельны друг другу.
Задача № 158366
Каждая диагональ выпуклого пятиугольника параллельна одной из его сторон. Докажите, что аффинным преобразованием этот пятиугольник можно перевести в правильный пятиугольник.
Задача № 158365
а) Докажите, что существует единственное аффинное преобразование, которое переводит данную точку Oв данную точку O', а данный базис векторов e1,e2 — в данный базис e1',e2'. б) Даны два треугольникаABCи A1B1C1. Докажите, что существует единственное аффинное преобразование, переводящее точку Aв A1,B — в B1,C — в C1. в) Даны два параллелограмма. Докажите, что существует единственное аффинное преобразование, которое один из них переводит в другой.
Задача № 158364
Пусть A',B',C' — образы точек A,B,Cпри аффинном преобразовании L. Докажите, что если Cделит отрезокABв отношенииAC:CB=p:q, то C'делит отрезокA'B'в том же отношении.
Задача № 158363
Докажите, что если L — аффинное преобразование, то а)L() =; б)L(a+b) =L(a) +L(b); в)L(ka) =kL(a).