Задача № 210046
Клетки таблицы 200×200 окрашены в чёрный и белый цвета так, что чёрных клеток на 404 больше, чем белых. Докажите, что найдётся квадрат 2×2, в котором число белых клеток нечётно.
Олимпиадные задачи по теме «Алгебра и арифметика»
Найдите задачу для урока, кружка или самостоятельной работы.
Задача № 210005
Существуют ли 10 таких различных целых чисел, что все суммы, составленные из девяти из них – точные квадраты?
Задача № 198455
Пусть ABC – остроугольный треугольник, C' и A' – произвольные точки на сторонах AB и BC соответственно, B' – середина стороны AC. а) Докажите, что площадь треугольника A'B'C' не больше половины площади треугольника ABC. б) Докажите, что площадь треугольника A'B'C' равна четверти площади треугольника ABC тогда и только тогда, когда хотя бы одна из точек A', C' совпадает с серединой соответствующей стороны.