Задача № 210176
Каждую вершину выпуклого четырехугольника площади S отразили симметрично относительно диагонали, не содержащей эту вершину. Обозначим площадь получившегося четырехугольника через S' . Докажите, что
Олимпиадные задачи по теме «Тригонометрия» - сложность 4-5 с решениями
Найдите задачу для урока, кружка или самостоятельной работы.
Задача № 210151
При каких натуральных n для любых чисел α , β , γ , являющихся величинами углов остроугольного треугольника, справедливо неравенство sin nα + sin nβ + sin nγ
Задача № 209860
Для углов α , β , γ справедливо равенство sinα + sinβ + sinγ 2. Докажите, что cosα + cosβ + cosγ .
Задача № 209838
Докажите, что sin
Задача № 209602
Решите уравнение cos(cos(cos(cos x)))= sin(sin(sin(sin x))) .
Задача № 179520
а) Доказать, что из трёх положительных чисел всегда можно выбрать такие два числа x и y, что 0 ≤ ≤ 1. б) Верно ли, что указанные два числа можно выбрать из любых четырёх чисел?
Задача № 173787
а) На плоскости лежит правильный восьмиугольник. Его разрешено "перекатывать" по плоскости, переворачивая (симметрично отражая) относительно любой стороны. Докажите, что для любого круга можно перекатить восьмиугольник в такое положение, что его центр окажется внутри круга. б) Решите аналогичную задачу для правильного пятиугольника. в) Для каких правильных n-угольников верно аналогичное утверждение?
Задача № 173744
Для любого треугольника можно вычислить сумму квадратов тангенсов половин его углов. Докажите, что эта сумма а) меньше 2 для любого остроугольного треугольника; б) не меньше 2 для любого тупоугольного треугольника, величина тупого угла которого больше или равна 2 arctg 4/3; а среди треугольников с тупым углом, меньшим 2 arctg 4/3, имеются и такие, сумма квадратов тангенсов половин углов которых больше 2, и такие, сумма квадратов тангенсов половин углов которых меньше 2.
Задача № 173670
Для каждого натурального n > 1 существует такое число cn, что для любого x произведение синуса числа x, синуса числа x + π/n, синуса числа x + 2π/n, ..., наконец, синуса числа x + (n – 1)π/n равно произведению числа cn на синус числа nx. Докажите это и найдите величину cn.
Задача № 173635
Сумма тангенсов углов величиной 1°, 5°, 9°, 13°, ..., 173°, 177°равна 45.Докажите это.
Задача № 173564
nодинаковых монет лежат на столе, образуя замкнутую цепочку. Центры монет образуют выпуклый многоугольник. Сколько оборотов сделает монета такого же размера за время, пока она один раз прокатится по внешней стороне всей цепочки, как показано на рисунке?Как изменится ответ, если радиус этой монеты в k раз больше радиуса каждой из монет цепочки?
Задача № 167204
Имеются абсолютно точные двухчашечные весы и набор из 50 гирь, веса которых равны , , , , . Докажите, что можно выбрать 10 из них и разложить по 5 гирь на разные чаши весов так, чтобы установилось равновесие.
Задача № 161336
Докажите равенство = . . ...
Задача № 161251
Пусть числаukопределены как и в предыдущей задаче. Докажите тождества: а)1 -u1+u2-u3+...+u2n= 2n(1 - cos x)(1 - cos 3x)...(1 - cos(2n- 1)x); б)1 -u12+u22-u32+...+u2n2= (- 1)n.
Задача № 161249
Формулы Рамануджана.Докажите следующие тождества: а)++=; б)++=.
Задача № 161202
Упростите выражения: а)sinsinsin...sin; б)sinsinsin...sin; в)coscoscos...cos; г)coscoscos...cos.
Задача № 161146
а) Докажите, что при нечётном n > 1 справедливо равенство: = – θ (0 < θ < 1). б) Докажите тождество: = .
Задача № 157076
Докажите, что при n ≥ 6 правильный (n–1)-угольник нельзя так вписать в правильный n-угольник, чтобы на всех сторонах n-угольника, кроме одной, лежало ровно по одной вершине (n–1)-угольника.
Задача № 157047
Пусть =/7. Докажите, что =+.