Найдите задачу для урока, кружка или самостоятельной работы.
Даны различные натуральные числа a, b. На координатной плоскости нарисованы графики функций y = sin ax, y = sin bx и отмечены все точки их пересечения. Докажите, что существует натуральное число c, отличное от a, b и такое, что график функции y = sin cx проходит через все отмеченные точки.
Можно ли, применяя к числу 1 функции sin, cos, tg, ctg, arcsin, arccos, arctg, arcctg в некотором порядке, получить число 2010? (Каждую функцию можно использовать сколько угодно раз.)
B выпуклом четырёхугольнике ABCD: AC ⊥ BD, ∠BCA = 10°, ∠BDA = 20°, ∠BAC = 40°. Найдите ∠BDC.
Дан треугольник ABC, AA1, BB1 и CC1 – его биссектрисы. Известно, что величины углов A, B и C относятся как 4 : 2 : 1. Докажите, что A1B1 = A1C1.
Можно ли, применяя к числу 2 функции sin, cos, tg, ctg, arcsin, arccos, arctg, arcctg в любом количестве и в любом порядке, получить число 2010?
Сколько раз функция f(x) = cos x cos x/2 cos x/3 ... cos x/2009 меняет знак на отрезке [0, 2009π/2] ?
Докажите, что при k>10в произведении f(x) = cos x cos 2x cos 3x .. cos 2k x можно заменить один cos на sin так, что получится функция f1(x), удовлетворяющая при всех действительных x неравенству |f1(x)| .
Докажите, что если α , β и γ – углы остроугольного треугольника, то sinα + sinβ + sinγ > 2.
Докажите, что для каждого x такого, что sin x 0, найдется такое натуральное n , что | sin nx| .
Каждую вершину выпуклого четырехугольника площади S отразили симметрично относительно диагонали, не содержащей эту вершину. Обозначим площадь получившегося четырехугольника через S' . Докажите, что
При каких натуральных n для любых чисел α , β , γ , являющихся величинами углов остроугольного треугольника, справедливо неравенство sin nα + sin nβ + sin nγ
Найдите все углы α , для которых набор чисел sinα , sin2α , sin3α совпадает с набором cosα , cos2α , cos3α .
Дана последовательность {xk} такая, что x1=1, xn+1=n sin xn+1. Докажите, что последовательность непериодична.
Существует ли функция f(x), определенная при всех x и для всех x,y удовлетворяющая неравенству |f(x+y)+ sin x+ sin y|
Пусть f(x)=x2+ax+b cos x . Найдите все значения параметров a и b , при которых уравнения f(x)=0и f(f(x))=0имеют совпадающие непустые множества действительных корней.
Для углов α , β , γ справедливо равенство sinα + sinβ + sinγ 2. Докажите, что cosα + cosβ + cosγ .
Докажите, что sin
Пусть α , β , γ , τ – такие положительные числа, что при всех x sinα x+ sinβ x= sinγ x+ sinτ x. Докажите, что α=γ или α=τ .
Докажите неравенство sinn2x + (sinnx – cosnx)² ≤ 1.
Решите уравнение cos(cos(cos(cos x)))= sin(sin(sin(sin x))) .
Докажите, что при всех , , справедливо неравенство .
Значение a подобрано так, что число корней первого из уравнений 4x – 4–x = 2 cos ax, 4x + 4–x = 2 cos ax + 4 равно 2007. Сколько корней при том же a имеет второе уравнение?
Пусть α и β – острые углы такие, что sin2α + sin2β < 1. Докажите, что sin2α + sin2β < sin2(α + β).
Доказать, что каковы бы ни были числа a, b, c, по крайней мере одно из уравнений a sin x + b cos x + c = 0, 2a tg x + b ctg x + 2c = 0 имеет решение.
Доказать, что сумма cos α+ cos(72o+α)+ cos(144o+α)+ cos(216o+α)+ cos(288o+α)не зависит от α .