Найдите задачу для урока, кружка или самостоятельной работы.
Две команды шахматистов одинаковой численности сыграли матч: каждый сыграл по одному разу с каждым из другой команды. В каждой партии давали 1 очко за победу, ½ – за ничью и 0 – за поражение. В итоге команды набрали поровну очков. Докажите, что какие-то два участника матча тоже набрали поровну очков, если в обеих командах было: а) по 5 шахматистов; б) произвольное равное число шахматистов.
По кругу стоят2009целых неотрицательных чисел, не превышающих 100. Разрешается прибавить по1к двум соседним числам, причем с любыми двумя соседними числами эту операцию можно проделать не более k раз. При каком наименьшем k все числа гарантированно можно сделать равными?
Последовательности(an)и(bn)заданы условиями a1=1, b1=2, an+1= и bn+1= . Докажите, что a2008
В прямоугольной таблице 9 строк и 2004 столбца. В её клетках расставлены числа от 1 до 2004, каждое – по 9 раз. При этом в каждом столбце числа различаются не более чем на 3. Найдите минимальную возможную сумму чисел в первой строке.
Пусть 2S – суммарный вес некоторого набора гирек. Назовём натуральное число k средним, если в наборе можно выбрать k гирек, суммарный вес которых равен S. Какое наибольшее количество средних чисел может иметь набор из 100 гирек?
В семейном альбоме есть десять фотографий. На каждой из них изображены три человека: в центре стоит мужчина, слева от мужчины – его сын, а справа – его брат. Какое наименьшее количество различных людей может быть изображено на этих фотографиях, если известно, что все десять мужчин, стоящих в центре, различны?
Дан ряд чисел 1,1,2,3,5,8,13,21,34,..., каждое из которых, начиная с третьего, равно сумме двух предыдущих. Доказать, что каждое натуральное число n>2 равно сумме нескольких различных чисел указанного ряда.
Банкир узнал, что среди одинаковых на вид монет одна — фальшивая (более легкая). Он попросил эксперта определить эту монету с помощью чашечных весов без гирь, причем потребовал, чтобы каждая монета участвовала во взвешиваниях не более двух раз. Какое наибольшее число монет может быть у банкира, чтобы эксперт заведомо смог выделить фальшивую заnвзвешиваний?
Для какого наибольшегоnможно придумать две бесконечные в обе стороны последовательностиAиBтакие, что любой кусок последовательностиBдлинойnсодержится вA,Aимеет период 1995, аBэтим свойством не обладает (непериодична или имеет период другой длины)?Комментарий. Последовательности могут состоять из произвольных символов. Речь идет о минимальном периоде.
За круглым столом сидят десять человек, перед каждым – несколько орехов. Всего орехов – сто. По общему сигналу каждый передаёт часть своих орехов соседу справа: половину, если у него (у того, кто передаёт) было чётное число, или один орех плюс половину остатка – если нечётное число. Такая операция проделывается второй раз, затем третий и так далее, до бесконечности. Докажите, что через некоторое время у всех станет по десять орехов.
См. задачу 179385 в) и г).
Можно ли выбрать некоторые натуральные числа так, чтобы при любом натуральном значенииnхотя бы одно из чиселn,n+ 50 было выбрано и хотя бы одно из чиселn,n+ 1987 не было выбрано?
Дано: Найти . Примечание. — целая часть .
Числа 1, 2, 3, ..., 101 выписаны в ряд в каком-то порядке. Докажите, что из них можно вычеркнуть 90 так, что оставшиеся 11 будут расположены по их величине (либо возрастая, либо убывая).
Обозначим через Tk(n) сумму произведений по k чисел от 1 до n. Например, T2(4) = 1·2 + 1·3 + 1·4 + 2·3 + 2·4 + 3·4. а) Найдите формулы для T2(n) и T3(n). б) Докажите, что Tk(n) является многочленом от n степени 2k. в) Укажите метод нахождения многочленов Tk(n) при k = 2, 3, 4, ... и примените его для отыскания многочленов T4(n) и T5(n).
На белых клетках бесконечной шахматной доски, заполняющей верхнюю полуплоскость, записаны какие-то числа так, что для каждой чёрной клетки сумма чисел, стоящих в двух соседних с ней клетках – справа и слева, – равна сумме двух других чисел, стоящих в соседних с ней клетках – сверху и снизу. Известно число, стоящее в одной клетке n-й строки (крестик на рисунке), а требуется узнать число, стоящее над ним в (n+2)-й строке (знак вопроса на рисунке). Сколько ещё чисел, стоящих в двух нижних строках (точки на рисунке), нужно для этого знать?
а) Существует ли бесконечная последовательность натуральных чисел, обладающая следующим свойством: ни одно из этих чисел не делится на другое, но среди каждых трёх чисел можно выбрать два, сумма которых делится на третье? б) Если нет, то как много чисел может быть в наборе, обладающем таким свойством? в) Решите ту же задачу при дополнительном условии: в набор разрешено включать только нечётные числа. Вот пример такого набора из четырёх чисел: 3, 5, 7, 107. Здесь среди трёх чисел 3, 5, 7 сумма 5 + 7 делится на 3; в тройке 5, 7, 107 сумма 107 + 5 делится на 7; в тройке 3, 7, 107 сумма 7 + 107 де...
Для любых натуральных чисел a1, a2, ..., am, никакие два из которых не равны друг другу и ни одно из которых не делится на квадрат натурального числа, большего единицы, а также для любых целых и отличных от нуля целых чисел b1, b2, ..., bm сумма не равна нулю. Докажите это.
Найдите суммы а) 1·n + 2(n – 1) + 3(n – 2) + ... + n·1. б) Sn,k = (1·2·...·k)·(n(n – 1)...(n – k + 1)) + (2·3·...·(k + 1))·((n – 1)(n – 2)...(n – k)) + ... + ((n – k + 1)(n – k + 2)...·n)·(k(k – 1)·...·1).
Даны две строго возрастающие последовательности положительных чисел, в которых каждый член, начиная с третьего, равен сумме двух предыдущих. Известно, что каждая последовательность содержит хотя бы одно число, которого нет в другой последовательности. Какое наибольшее количество общих чисел может быть у этих последовательностей? Замечание к условию.Предполагается, что обе последовательности бесконечны, иначе совпадений, очевидно, может быть сколько угодно (можно взять первые членов последовательности Фибоначчи 1, 2, 3, 5, 8, 13, ... как первую последовательность, и члены со второго по $(n+...
Кощей придумал для Ивана-дурака испытание. Он дал Ивану волшебную дудочку, на которой можно играть только две ноты – до и си. Для прохождения испытания Ивану нужно сыграть какую-нибудь мелодию из 300 нот на свой выбор. Но до того, как он начнёт играть, Кощей выбирает и объявляет запретными одну мелодию из пяти нот, одну – из шести нот, ..., одну – из 30 нот. Если в какой-то момент последние сыгранные ноты образуют одну из запретных мелодий, дудочка перестаёт звучать. Сможет ли Иван пройти испытание, какие бы мелодии Кощей ни объявил запретными?
Назовём рассадку кузнечиков на прямой в различные её точки -удачной, если кузнечики, сделав необходимое число ходов по правилам чехарды, могут добиться того, что сумма попарных расстояний между ними уменьшится хотя бы в раз. При каких существует рассадка, являющаяся -удачной сразу для всех натуральных ? (В чехарде за ход один из кузнечиков прыгает в точку, симметричную ему относительно другого кузнечика.)
Пусть X – некоторое множество целых чисел, которое можно разбить на N непересекающихся возрастающих арифметических прогрессий (бесконечных в обе стороны), а меньше чем на N – нельзя. Для любого ли такого X такое разбиение на N прогрессий единственно, если а) N = 2; б) N = 3? (Возрастающая арифметическая прогрессия – это последовательность, в которой каждое число больше своего соседа слева на одну и ту же положительную величину.)
В бесконечной арифметической прогрессии, где все числа натуральные, нашлись два числа с одинаковой суммой цифр. Обязательно ли в ней найдётся ещё одно число с такой же суммой цифр?
Петя прибавил к натуральному числу натуральное число и заметил, что сумма цифр у результата та же, что и у . Тогда он снова прибавил к результату, потом – ещё раз, и т. д. Обязательно ли он когда-нибудь снова получит число с той же суммой цифр, что и у ?