Задача № 216953
Найдите все такие натуральные k, что при каждом нечётном n > 100 число 20n + 13n делится на k.
Олимпиадные задачи по теме «Многочлены» - сложность 3 с решениями
Найдите задачу для урока, кружка или самостоятельной работы.
Задача № 216941
Даны три квадратных трёхчлена P(x), Q(x) и R(x) с положительными старшими коэффициентами, имеющие по два различных корня. Оказалось, что при подстановке корней трёхчлена R(x) в многочлен P(x) + Q(x) получаются равные значения. Аналогично при подстановке корней трёхчлена P(x) в многочлен Q(x) + R(x) получаются равные значения, а также при подстановке корней трёхчлена Q(x) в многочлен P(x) + R(x) получаются равные значения. Докажите, что три числа: сумма корней трёхчлена P(x), сумма корней трёхчлена Q(x) и сумма корней трёхчлена R(x) равны между собой.
Задача № 216775
Даны многочлен P(x) и такие числа a1, a2, a3, b1, b2, b3, что a1a2a3 ≠ 0. Оказалось, что P(a1x + b1) + P(a2x + b2) = P(a3x + b3) для любого действительного x. Докажите, что P(x) имеет хотя бы один действительный корень.
Задача № 216765
Каждые два из действительных чисел a1, a2, a3, a4, a5 отличаются не менее чем на 1. Оказалось, что для некоторого действительного k выполнены равенства Докажите, что k² ≥ 25/3.
Задача № 216758
Положительные действительные числа a1, ..., an и k таковы, что a1 + ... + an = 3k, и . Докажите, что какие-то два из чисел a1, ..., an отличаются больше чем на 1.
Задача № 216682
Назовем приведённый квадратный трёхчлен с целыми коэффициентами сносным, если его корни – целые числа, а коэффициенты не превосходят по модулю 2013. Вася сложил все сносные квадратные трёхчлены. Докажите, что у него получился трёхчлен, не имеющий действительных корней.
Задача № 216644
Для натуральных чисел a > b > 1 определим последовательность x1, x2, ... формулой . Найдите наименьшее d, при котором ни при каких a и b эта последовательность не содержит d последовательных членов, являющихся простыми числами.
Задача № 216635
У Пети и Коли в тетрадях записаны по два числа; изначально – это числа 1 и 2 у Пети, 3 и 4 – у Коли. Раз в минуту Петя составляет квадратный трёхчлен f(x), корнями которого являются записанные в его тетради два числа, а Коля – квадратный трёхчлен g(x), корнями которого являются записанные в его тетради два числа. Если уравнение f(x) = g(x) имеет два различных корня, то один из мальчиков заменяет свою пару чисел на эти корни; иначе ничего не происходит. Какое второе число могло оказаться у Пети в тетради в тот момент, когда первое стало равным 5?
Задача № 216624
Существуют ли такие значения a и b, при которых уравнение х4 – 4х3 + 6х² + aх + b = 0 имеет четыре различных действительных корня?
Задача № 216582
Целые числа a и b таковы, что при любых натуральных m и n число am² + bn² является точным квадратом. Докажите, что ab = 0.
Задача № 216402
Обозначим через [n]! произведение 1·11·111·...·11...11 – всего n сомножителей, в последнем – n единиц. Докажите, что [n + m]! делится на произведение [n]!·[m]!.
Задача № 216374
Сравните числа
Задача № 216373
Целые числа m и n таковы, что сумма целая. Верно ли, что оба слагаемых целые?
Задача № 216251
Три спортсмена стартовали одновременно из точки A и бежали по прямой в точку B каждый со своей постоянной скоростью. Добежав до точки B, каждый из них мгновенно повернул обратно и бежал с другой постоянной скоростью к финишу в точке A. Их тренер бежал рядом и все время находился в точке, сумма расстояний от которой до участников забега была наименьшей. Известно, что расстояние от A до B равно 60 м и все спортсмены финишировали одновременно. Мог ли тренер пробежать меньше 100 м?
Задача № 216018
Для различных положительных чисел а и b выполняется равенство . Докажите, что а и b – взаимно обратные числа.
Задача № 216008
Дана функция f(x), значение которой при любом целом x целое. Известно, что для любого простого числа p существует такой многочлен Qp(x) степени, не превышающей 2013, с целыми коэффициентами, что f(n) – Qp(n) делится на p при любом целом n. Верно ли, что существует такой многочлен g(x) с вещественными коэффициентами , что g(n) = f(n) для любого целого n?
Задача № 215992
Найдите наименьшее значение x² + y², если x2 – y² + 6x + 4y + 5 = 0.
Задача № 215512
Докажите, что если числа x, y, z при некоторых значениях p и q являются решениями системы y = xn + px + q, z = yn + py + q, x = zn + pz + q, то выполнено неравенство x²y + y²z + z²x ≥ x²z + y²x + z²y. Рассмотрите случаи а) n = 2; б) n = 2010.
Задача № 215416
Числа a, b и c таковы, что (a + b)(b + c)(c + a) = abc, (a³ + b³)(b³ + c³)(c³ + a3) = a³b³c³. Докажите, что abc = 0.
Задача № 215404
Найдите все такие натуральные n, что при некоторых отличных от нуля действительных числах a, b, c, d многочлен (ax + b)1000 – (cx + d)1000 после раскрытия скобок и приведения всех подобных слагаемых имеет ровно n ненулевых коэффициентов.
Задача № 215392
Вася отвечает теорему Виета: "Сумма трёх коэффициентов квадратного трёхчлена равна одному из его корней, а произведение – другому". Экзаменатор: "Неверно". Вася: "Как же неверно? Я проверил для случайно выбранного трёхчлена, и всё получилось". Какой это мог быть трёхчлен, если его коэффициенты – целые числа?
Задача № 215372
Для каждого натурального n обозначим через Sn сумму первых n простых чисел: S1 = 2, S2 = 2 + 3 = 5, S3 = 2 + 3 + 5 = 10, ... . Могут ли два подряд идущих члена последовательности (Sn) оказаться квадратами натуральных чисел?
Задача № 215352
Назовём тройку натуральных чисел (a, b, c) квадратной, если они образуют арифметическую прогрессию (именно в таком порядке), число b взаимно просто с каждым из чисел a и c, а число abc является точным квадратом. Докажите, что для любой квадратной тройки найдётся другая квадратная тройка, имеющая с ней хотя бы одно общее число. (Тройка (c, b, a) новой тройкой не считается.)
Задача № 211878
Числа a, b, c таковы, что уравнение x³ + ax² + bx + c = 0 имеет три действительных корня. Докажите, что если –2 ≤ a + b + c ≤ 0, то хотя бы один из этих корней принадлежит отрезку [0, 2].
Задача № 211865
Числа от 51 до 150 расставлены в таблицу 10×10. Может ли случиться, что для каждой пары чисел a, b, стоящих в соседних по стороне клетках, хотя бы одно из уравнений x² – ax + b = 0 и x² – bx + a = 0 имеет два целых корня?
1–25 из 341