Задача № 216402
Обозначим через [n]! произведение 1·11·111·...·11...11 – всего n сомножителей, в последнем – n единиц. Докажите, что [n + m]! делится на произведение [n]!·[m]!.
Олимпиадные задачи по теме «Комплексные числа» - сложность 2-5 с решениями
Найдите задачу для урока, кружка или самостоятельной работы.
Задача № 209169
Найти минимальное и максимальное значения аргумента комплексных чисел y, удовлетворяющих условию |y + 1/y| = .
Задача № 209162
Среди комплексных чисел p , удовлетворяющих условию |p – 25i| ≤ 15, найти число с наименьшим аргументом.
Задача № 207841
На доске написаны три функции: f1(x) = x + 1/x, f2(x) = x², f3(x) = (x – 1)². Можно складывать, вычитать и перемножать эти функции (в том числе возводить в квадрат, в куб, ...), умножать их на произвольное число, прибавлять к ним произвольное число, а также проделывать эти операции с полученными выражениями. Получите таким образом функцию 1/x. Докажите, что если стереть с доски любую из функций f1, f2, f3, то получить 1/x невозможно.
Задача № 186517
Докажите, что если каждое из двух чисел является суммой квадратов двух целых чисел, то и их произведение является суммой квадратов двух целых чисел.
Задача № 185241
Докажите следующие равенства: а) б) в)
Задача № 177966
Докажите, что ни при каком целом A многочлен 3x2n + Axn + 2 не делится на многочлен 2x2m + Axm + 3.
Задача № 175506
Пусть p = am10m + am–110m–1 + ... + a0 – простое число, записанное в десятичной системе счисления. Докажите, что многочлен P(x) = amxm + am–1xm–1 + ... + a1x + a0 неприводим над целыми числами.
Задача № 173670
Для каждого натурального n > 1 существует такое число cn, что для любого x произведение синуса числа x, синуса числа x + π/n, синуса числа x + 2π/n, ..., наконец, синуса числа x + (n – 1)π/n равно произведению числа cn на синус числа nx. Докажите это и найдите величину cn.
Задача № 173635
Сумма тангенсов углов величиной 1°, 5°, 9°, 13°, ..., 173°, 177°равна 45.Докажите это.
Задача № 167197
Дан многочлен степени с целыми коэффициентами, имеющий различных целых корней. Докажите, что многочлен имеет различных действительных корней.
Задача № 165183
Найдите все натуральные n > 2, для которых многочлен xn + x² + 1 делится на многочлен x² + x + 1.
Задача № 161540
После экспериментов с мнимой единицей, Коля Васин занялся комплексной экспонентой. Пользуясь формулами задачи 161115, он смог доказать, что sin x всегда равен нулю, а cos x – единице: Где ошибка в приведённых равенствах?
Задача № 161277
Докажите, что если корни многочлена f(x) = x³ + ax² + bx + c образуют правильный треугольник на комплексной плоскости, то многочлен f'(x) = 3x² + 2ax + b имеет двукратный корень, расположенный в центре этого треугольника.
Задача № 161197
Пусть u – точка на единичной окружности z = 1 и u1, u2, u3 – основания перпендикуляров, опущенных из u на стороны a2a3, a1a3, a1a2 вписанного в эту окружностьтреугольника a1a2a3. а) Докажите, что числа u1, u2, u3 вычисляются по формулам б) Докажите, что точки u1, u2, u3 лежат на одной прямой.
Задача № 161193
Точки a1, a2 и a3 расположены на единичной окружности zz = 1. Докажите, что точка h = a1 + a2 + a3 является ортоцентром треугольника с вершинами в точках a1, a2 и a3.
Задача № 161190
Докажите, что cтепень точки w относительно окружности Azz + Bz – B z + C = 0 равна
Задача № 161189
Пусть уравнение некоторой прямой или окружности имеет вид Azz + Bz – B z + C = 0. Пусть образ этой линии при отображении задается уравнением A'zz + B'z – B' z + C' = 0, где A' и C' также чисто мнимые числа. Выразите A', B' и C' через A, B и C.
Задача № 161188
Докажите, что инверсия переводит каждую окружность или прямую линию снова в окружность или прямую линию.
Задача № 161187
Представьте в виде композиции дробно-линейного отображения w = и комплексного сопряжения w = z инверсию относительно окружности а) с центром i и радиусом R = 1; б) с центром Reiφ и радиусом R; в) с центром z0 и радиусом R.
Задача № 161186
Докажите, что отображение w = является инверсией относительно единичной окружности.
Задача № 161185
Докажите, что уравнение Azz + Bz – B z + C = 0 при отображениях w = z + u и w = R/z переходит в уравнение такого же вида. Получите из этого круговое свойство дробно-линейных отображений (см. задачу 161183).
Задача № 161184
Докажите, что уравнение окружности (или прямой) на комплексной плоскости всегда может быть записано в виде Azz + Bz – B z + C = 0, где A и C – чисто мнимые числа.
Задача № 161183
Докажите, что дробно-линейное отображение переводит каждую окружность или прямую линию снова в окружность или прямую линию.
Задача № 161182
Как изменяется двойное отношение W(z1, z2, z3, z4) при действии отображения ?
1–25 из 100