Найдите задачу для урока, кружка или самостоятельной работы.
На доске написаны три функции: f1(x) = x + 1/x, f2(x) = x², f3(x) = (x – 1)². Можно складывать, вычитать и перемножать эти функции (в том числе возводить в квадрат, в куб, ...), умножать их на произвольное число, прибавлять к ним произвольное число, а также проделывать эти операции с полученными выражениями. Получите таким образом функцию 1/x. Докажите, что если стереть с доски любую из функций f1, f2, f3, то получить 1/x невозможно.
Для каждого натурального n > 1 существует такое число cn, что для любого x произведение синуса числа x, синуса числа x + π/n, синуса числа x + 2π/n, ..., наконец, синуса числа x + (n – 1)π/n равно произведению числа cn на синус числа nx. Докажите это и найдите величину cn.
Сумма тангенсов углов величиной 1°, 5°, 9°, 13°, ..., 173°, 177°равна 45.Докажите это.
а) Докажите, что при нечётном n > 1 справедливо равенство: = – θ (0 < θ < 1). б) Докажите тождество: = .