Задача № 186517
Докажите, что если каждое из двух чисел является суммой квадратов двух целых чисел, то и их произведение является суммой квадратов двух целых чисел.
Олимпиадные задачи по теме «Комплексные числа» для 1-9 класса
Найдите задачу для урока, кружка или самостоятельной работы.
Задача № 185241
Докажите следующие равенства: а) б) в)
Задача № 177966
Докажите, что ни при каком целом A многочлен 3x2n + Axn + 2 не делится на многочлен 2x2m + Axm + 3.
Задача № 173635
Сумма тангенсов углов величиной 1°, 5°, 9°, 13°, ..., 173°, 177°равна 45.Докажите это.
Задача № 165183
Найдите все натуральные n > 2, для которых многочлен xn + x² + 1 делится на многочлен x² + x + 1.
Задача № 161156
Куда переходит полоса 2 < Re z < 3 при отображениях: а) w = z–1; б) w = (z – 2)–1; в) w = (z – 5/2)–1?
Задача № 161155
Постройте образ квадрата с вершинами A(0, 0), B(0, 2), C(2, 2), D(2, 0) при следующих преобразованиях: а) w = iz; б) w = 2iz – 1; в) w = z²; г) w = z–1.
Задача № 161154
Докажите при помощи комплексных чисел, что композицией двух гомотетий является гомотетия или параллельный перенос: причём в первом случае вектор a параллелен прямой A1A2, а во втором случае центр результирующей гомотетии A лежит на прямой A1A2 и k = k1k2. Здесь обозначает гомотетию с центром в A с коэффициентом k.
Задача № 161153
Представить гомотетию с центром в точке i с коэффициентом 2 в виде композиции параллельного переноса и гомотетии с центром в точке O.
Задача № 161152
Выразите в виде w = f(z) следующие геометрические преобразования: а) б) в) г) ; д) е) Здесь использованы следующие обозначения: – гомотетия с центром в точкеAи коэффициентомk; Tz– параллельный перенос на векторOz; – поворот относительно точкиAна угол φ; точка O= (0, 0) – начало координат.
Задача № 161151
Как представить в виде w = f(z) симметрию относительно прямой l, проходящей через начало координат под углом φ к оси Ox?
Задача № 161150
Каким геометрическим преобразованиям плоскости соответствуют следующие отображения: а) w = z + a; б) w = 2z; в) w = z(cos φ + i sin φ); г) w = z ?
Задача № 161149
Во что перейдёт угол градусной меры α вершиной в начале координат в результате преобразования w = z³?
Задача № 161148
Во что перейдёт треугольник с вершинами в точках: 0, 1 – i, 1 + i в результате преобразования
Задача № 161143
Найдите все корни уравнения (z – 1)n = (z + 1)n. Чему равна сумма квадратов корней данного уравнения?
Задача № 161141
Пусть P(xn) делится на x – 1. Докажите, что P(xn) делится на xn – 1.
Задача № 161134
Докажите, что корни уравнения где a, b, c – попарно различные комплексные числа, лежат внутри треугольника с вершинами в точках a, b, c, или на его сторонах (в случае вырожденного треугольника).
Задача № 161133
Пусть z1, z2, ..., zn – вершины выпуклого многоугольника. Найдите геометрическое место точек z = λ1z1 + λ2z2 + ... + λnzn, где λ1, λ2, ..., λn – такие действительные положительные числа, что λ1 + λ2 + ... + λn = 1.
Задача № 161132
Пусть z1, ..., zn – отличные от нуля комплексные числа, лежащие в полуплоскости α < arg z < α + π. Докажите, что а) z1 + ... + zn ≠ 0; б) 1/z1 + ... + 1/zn ≠ 0.
Задача № 161128
а) Докажите равенство б) Вычислите суммы
Задача № 161127
а) Докажите равенство б) Вычислите сумму
Задача № 161126
Используя разложение (1 + i)n по формуле бинома Ньютона, найдите: а) б)
Задача № 161123
а) Докажите равенство: cos φ + ... + cos nφ = ; б) Вычислите сумму: sinφ + ... + sin nφ.
Задача № 161114
Докажите, что произвольный многочлен с действительными коэффициентами можно разложить в произведение многочленов первой и второй степени, которые также будут иметь действительные коэффициенты.
Задача № 161113
Пусть многочлен с действительными коэффициентами f(x) имеет корень a + ib. Докажите, что число a – ib также будет корнем f(x).
1–25 из 61