Найдите задачу для урока, кружка или самостоятельной работы.
Мальчик с папой стоят на берегу моря. Если мальчик встанет на цыпочки, его глаза будут на высоте 1 м от поверхности моря, а если сядет папе на плечи, то на высоте 2 м. Во сколько раз дальше он будет видеть во втором случае. (Найдите ответ с точностью до 0,1, радиус Земли считайте равным 6000 км.)
Какое наибольшее значение может принимать выражение где a, b, c – попарно различные ненулевые цифры?
В бесконечной последовательности (xn) первый член x1 – рациональное число, большее 1, и xn+1 = xn + 1/[xn] при всех натуральных n. Докажите, что в этой последовательности есть целое число.
Даны положительные рациональные числа a, b. Один из корней трёхчлена x² – ax + b – рациональное число, в несократимой записи имеющее вид m/n. Докажите, что знаменатель хотя бы одного из чисел a и b (в несократимой записи) не меньше n2/3.
На экране компьютера стоят в ряд 200 человек. На самом деле эта картинка составлена из 100 фрагментов, на каждом – пара: взрослый и ребёнок пониже ростом. Разрешается в каждом из фрагментов изменить масштаб, уменьшив при этом одновременно рост взрослого и ребёнка в одинаковое целое число раз (масштабы разных фрагментов можно менять независимо друг от друга). Докажите, что это можно сделать так, что на общей картинке все взрослые будут выше всех детей.
Натуральные числа покрашены в N цветов. Чисел каждого цвета бесконечно много. Известно, что цвет полусуммы двух различных чисел одной чётности зависит только от цветов слагаемых. а) Докажите, что полусумма чисел одной чётности одного цвета всегда окрашена в тот же цвет. б) При каких N такая раскраска возможна?
Сумма и произведение двух чисто периодических десятичных дробей – чисто периодические дроби с периодом T. Докажите, что исходные дроби имеют периоды не больше T.
Последовательность {an} строится следующим образом: a1 = p – простое число, имеющее ровно 300 ненулевых цифр, an+1 – период десятичной дроби 1/an, умноженный на 2. Найдите число a2003.
Докажите, что существует бесконечно много натуральных n, для которых числитель несократимой дроби, равной 1 + ½ + ... + 1/n, не является степенью простого числа с натуральным показателем.
Назовём натуральные числа похожими, если они записываются с помощью одного и того же набора цифр (например, для набора цифр 1, 1, 2 похожими будут числа 112, 121, 211). Докажите, что существуют такие три похожих 1995-значных числа, в записи которых нет нулей, что сумма двух из них равна третьему.
В числе a = 0,12457... n-я цифра после запятой равна цифре слева от запятой в числе Докажите, что α – иррациональное число.
При разложении чисел A и B в бесконечные десятичные дроби длины минимальных периодов этих дробей равны 6 и 12 соответственно. Чему может быть равна длина минимального периода числа A + B?
Рассматривается последовательность, n-й член которой есть первая цифра числа 2n. Докажите, что количество различных "слов" длины 13 – наборов из 13 подряд идущих цифр – равно 57.
Прибор для сравнения чисел logab и logcd (a, b, c, d > 1) работает по правилам: если b > a и d > c, то он переходит к сравнению чисел logab/a и logcd/c если b < a и d < c, то он переходит к сравнению чисел logdc и logba; если (b − a)(d − c) ≤ 0, то он выдаёт ответ. а) Покажите, как прибор сравнит числа log2575 и log65260. б) Докажите, что любые два неравных логарифма он сравнит за конечное число шагов.
Найти все такие натуральные n, для которых числа 1/n и 1/n+1 выражаются конечными десятичными дробями.
Рассмотрим все рациональные числа между нулём и единицей, знаменатели которых не превосходят n, расположенные в порядке возрастания (ряд Фарея). Пусть a/b и c/d – какие-то два соседних числа (дроби несократимы). Доказать, что |bc – ad| = 1.
Решить в целых положительных числах уравнение
В десятичной записи положительного числа α отброшены все десятичные знаки, начиная с пятого знака после запятой (то есть взято приближение α с недостатком с точностью до 0,0001). Полученное число делится на α и частное снова округляется с недостатком с той же точностью. Какие числа при этом могут получиться?
Пусть a, b, c, d, l – целые числа. Докажите, что если дробь сократима на число k, то ad – bc делится на k.
Докажите, что первые три цифры частного суть 0,239.
Вычислить с пятью десятичными знаками (то есть с точностью до 0,00001) произведение:
а) На плоскости лежит правильный восьмиугольник. Его разрешено "перекатывать" по плоскости, переворачивая (симметрично отражая) относительно любой стороны. Докажите, что для любого круга можно перекатить восьмиугольник в такое положение, что его центр окажется внутри круга. б) Решите аналогичную задачу для правильного пятиугольника. в) Для каких правильных n-угольников верно аналогичное утверждение?
На стол положили (с перекрытиями) несколько одинаковых салфеток, имеющих форму единичного круга. Всегда ли можно вбить в стол несколько точечных гвоздей так, что все салфетки будут прибиты, причём одинаковым количеством гвоздей? (Вбивать гвозди на границы кругов запрещено.)
Петя загадал положительную несократимую дробь . Можно назвать положительную дробь , меньшую 1, и Петя назовёт числитель несократимой дроби, равной сумме . Как за два таких действия гарантированно узнать ?
По мнению Тани, в идеальном кофейном напитке должно быть ровно в 9 раз больше кофе, чем молока. У Глеба есть стакан и кружка, а также целая цистерна молока и огромная турка с неограниченным запасом кофе. Аккуратный Глеб может отпить ровно половину содержимого кружки или стакана. Как Глебу приготовить для Тани целый стакан идеального кофейного напитка, если точный объём кружки неизвестен, но он как минимум на больше объёма стакана? Глеб может наливать кофе и молоко в стакан или в кружку, может выливать содержимое, переливать из кружки в стакан или наоборот, отпивать половину содержимого...