Задача № 211883
На доске написано натуральное число. Если на доске написано число x, то можно дописать на нее число 2x + 1 или x/x+2. В какой-то момент выяснилось, что на доске присутствует число 2008. Докажите, что оно там было с самого начала.
Олимпиадные задачи по теме «Дроби» для 10 класса - сложность 3 с решениями
Найдите задачу для урока, кружка или самостоятельной работы.
Задача № 211829
В бесконечной последовательности (xn) первый член x1 – рациональное число, большее 1, и xn+1 = xn + 1/[xn] при всех натуральных n. Докажите, что в этой последовательности есть целое число.
Задача № 211813
Даны положительные рациональные числа a, b. Один из корней трёхчлена x² – ax + b – рациональное число, в несократимой записи имеющее вид m/n. Докажите, что знаменатель хотя бы одного из чисел a и b (в несократимой записи) не меньше n2/3.
Задача № 210019
Имеется 40 одинаковых газовых баллонов, значения давления газа в которых нам неизвестны и могут быть различны. Разрешается соединять любые баллоны друг с другом в количестве, не превосходящем заданного натурального числа k, а затем разъединять их; при этом давление газа в соединяемых баллонах устанавливается равным среднему арифметическому давлений в них до соединения. При каком наименьшем k существует способ уравнивания давлений во всех 40 баллонах независимо от первоначального распределения давлений в баллонах?
Задача № 209924
Назовём сочетанием цифр несколько цифр, записанных подряд. В стране Роботландии некоторые сочетания цифр объявлены запрещёнными. Известно, что запрещённых сочетаний конечное число и существует бесконечная десятичная дробь, не содержащая запрещённых сочетаний. Докажите, что существует бесконечная периодическая десятичная дробь, не содержащая запрещённых сочетаний.
Задача № 209839
Сумма и произведение двух чисто периодических десятичных дробей – чисто периодические дроби с периодом T. Докажите, что исходные дроби имеют периоды не больше T.
Задача № 209612
Назовём натуральные числа похожими, если они записываются с помощью одного и того же набора цифр (например, для набора цифр 1, 1, 2 похожими будут числа 112, 121, 211). Докажите, что существуют такие три похожих 1995-значных числа, в записи которых нет нулей, что сумма двух из них равна третьему.
Задача № 209580
Имеется семь стаканов с водой: первый стакан заполнен водой наполовину, второй – на треть, третий – на четверть, четвёртый – на ⅕, пятый – на ⅛, шестой – на 1/9, и седьмой – на 1/10. Разрешается переливать всю воду из одного стакана в другой или переливать воду из одного стакана в другой до тех пор, пока он не заполнится доверху. Может ли после нескольких переливаний какой-нибудь стакан оказаться заполненным а) на 1/12; б) на ⅙?
Задача № 209196
В числе a = 0,12457... n-я цифра после запятой равна цифре слева от запятой в числе Докажите, что α – иррациональное число.
Задача № 198247
Рассматривается последовательность, n-й член которой есть первая цифра числа 2n. Докажите, что количество различных "слов" длины 13 – наборов из 13 подряд идущих цифр – равно 57.
Задача № 198093
На доске выписаны числа 1, ½, ⅓, ..., 1/100. Выбираем из написанных на доске два произвольных числа a и b, стираем их и пишем на доску число a + b + ab. Такую операцию проделываем 99 раз, пока не останется одно число. Какое это число? Найдите его и докажите, что оно не зависит от последовательности выбора чисел.
Задача № 198049
Сколько существует таких пар натуральных чисел (m, n), каждое из которых не превышает 1000, что
Задача № 179628
Прибор для сравнения чисел logab и logcd (a, b, c, d > 1) работает по правилам: если b > a и d > c, то он переходит к сравнению чисел logab/a и logcd/c если b < a и d < c, то он переходит к сравнению чисел logdc и logba; если (b − a)(d − c) ≤ 0, то он выдаёт ответ. а) Покажите, как прибор сравнит числа log2575 и log65260. б) Докажите, что любые два неравных логарифма он сравнит за конечное число шагов.
Задача № 179423
Найти все такие натуральные n, для которых числа 1/n и 1/n+1 выражаются конечными десятичными дробями.
Задача № 178839
Рассмотрим все рациональные числа между нулём и единицей, знаменатели которых не превосходят n, расположенные в порядке возрастания (ряд Фарея). Пусть a/b и c/d – какие-то два соседних числа (дроби несократимы). Доказать, что |bc – ad| = 1.
Задача № 178066
В десятичной записи положительного числа α отброшены все десятичные знаки, начиная с третьего знака после запятой (то есть взято приближение α с недостатком с точностью до 0, 01). Полученное число делится на α и частное снова округляется с недостатком с той же точностью. Какие числа при этом могут получиться?
Задача № 176542
Вычислить с пятью десятичными знаками (то есть с точностью до 0,00001) произведение:
Задача № 167428
Петя загадал положительную несократимую дробь . Можно назвать положительную дробь , меньшую 1, и Петя назовёт числитель несократимой дроби, равной сумме . Как за два таких действия гарантированно узнать ?
Задача № 167276
Существует ли число, которое может быть представлено в виде , где и натуральные, не менее чем ста способами? Ответ объясните.
Задача № 167186
Дано натуральное число . Назовём положительную обыкновенную дробь (не обязательно несократимую)хорошей, если сумма её числителя и знаменателя равна . Докажите, что любую положительную обыкновенную дробь, знаменатель которой меньше , можно выразить через хорошие дроби (не обязательно различные) с помощью операций сложения и вычитания тогда и только тогда, когда — простое число. Напомним, что обыкновенная дробь — это отношение целого числа к натуральному.
Задача № 167009
Имеется натуральное 1001-значное число . 1001-значное число – то же число , записанное от конца к началу (например, для четырёхзначных чисел это могли быть 7432 и 2347). Известно, что . При каком частное будет наименьшим (но строго больше 1)?
Задача № 166702
Существуют ли такие 2018 положительных несократимых дробей с различными натуральными знаменателями, что знаменатель разности каждых двух из них (после приведения к несократимому виду) меньше знаменателя любой из исходных 2018 дробей?
Задача № 165407
Известно, что среди членов некоторой арифметической прогрессии a1, a2, a3, a4, ... есть числа Докажите,что эта прогрессия состоит из целых чисел.
Задача № 165251
Пусть n > 1 – натуральное число. Выпишем дроби 1/n, 2/n, ..., n–1/n и приведём каждую к несократимому виду; сумму числителей полученных дробей обозначим через f(n). При каких натуральных n > 1 числа f(n) и f(2015n) имеют разную чётность?
Задача № 164779
Положительные рациональные числа a и b записаны в виде десятичных дробей, у каждой из которых минимальный период состоит из 30 цифр. У десятичной записи числа a – b длина минимального периода равна 15. При каком наименьшем натуральном k длина минимального периода десятичной записи числа a + kb может также оказаться равной 15?
1–25 из 59