Задача № 215363
Существуют ли три попарно различных ненулевых целых числа, сумма которых равна нулю, а сумма тринадцатых степеней которых является квадратом некоторого натурального числа?
Олимпиадные задачи по теме «Арифметические действия. Числовые тождества» - сложность 3-5 с решениями
Найдите задачу для урока, кружка или самостоятельной работы.
Задача № 211904
Используя в качестве чисел любое количество монет достоинством 1, 2, 5 и 10 рублей, а также (бесплатные) скобки и знаки четырех арифметических действий, составьте выражение со значением 2009, потратив как можно меньше денег.
Задача № 204113
Условие 1:Среди чиселa,b,cесть два одинаковых. А оставшееся число -- другое. Составьте такое арифметическое выражение из буквa,b,c, знаков +, -, ×, : и скобок, чтобы в результате вычислений получилось это число. (Скобки, знаки и буквы можно использовать любое количество раз.) Условие 2:Среди чиселa,b,cесть два одинаковых. А оставшееся число -- другое. Составьте такое арифметическое выражение из буквa,b,c, знаков +, -, ×, : и скобок, чтобы в результате вычислений получилось это число. (Скобки, знаки и буквы можно использовать любое количество раз.)
Задача № 198169
Задано правило, которое каждой паре чисел x, y ставит в соответствие некоторое число x*y, причём для любых x, y, z выполняются тождества: 1) x*x = 0, 2) x*(y*z) = (x*y) + z. Найдите 1993*1932.
Задача № 197986
Существует ли такое натуральное число M, что никакое натуральное число, десятичная запись которого состоит лишь из нулей и не более чем 1988 единиц, не делится на M?
Задача № 166707
В некотором государстве сложение и вычитание обозначаются знаками "!" и "?", но вам неизвестно, какой знак какой операции соответствует. Каждая операция применяется к двум числам, но про вычитание вам неизвестно, вычитается левое число из правого или правое из левого. К примеру, выражение обозначает одно из следующих: или . Вам неизвестно, как записываются числа в этом государстве, но переменные и скобки есть и используются как обычно. Объясните, как с помощью них и знаков "!", "?" записать выражение, которое гарантированно равно .
Задача № 165856
Докажите, что можно найти бесконечно много таких пар целых чисел, что в десятичной записи каждого числа все цифры не меньше 7 и произведение чисел каждой пары – тоже число, где все цифры не меньше 7.
Задача № 164609
Существуют ли такие натуральные числа a, b, c, d, что a/b + c/d = 1, a/d + c/b = 2008?