Задача № 2097339 класс10 класс11 класс4 / 5
Участникам тестовой олимпиады было предложено n вопросов. Жюри определяет сложность каждого из вопросов: целое положительное количество баллов, получаемых участниками за правильный ответ на вопрос. За неправильный ответ начисляется 0 баллов, все набранные участником баллы суммируются. Когда все участники сдали листки со своими ответами, оказалось, что жюри так может определить сложность вопросов, чтобы места между участниками распределились любым наперед заданным образом. При каком наибольшем числе участников это могло быть?
Задача № 2096657 класс8 класс9 класс10 класс11 класс4 / 5
Существуют ли 1998 различных натуральных чисел, произведение каждых двух из которых делится нацело на квадрат их разности?
Задача № 2078569 класс10 класс11 класс4 / 5
На отрезке [0, 1] отмечено несколько различных точек. При этом каждая отмеченная точка расположена либо ровно посередине между двумя другими отмеченными точками (не обязательно соседними с ней), либо ровно посередине между отмеченной точкой и концом отрезка. Докажите, что все отмеченные точки рациональны.
Задача № 1795589 класс10 класс11 класс4 / 5
Найдите все положительные числа x1, x2, ..., x10, удовлетворяющие при всех k = 1, 2,..., 10 условию (x1 + ... + xk)(xk + ... + x10) = 1.
Задача № 1737739 класс10 класс11 класс4 / 5
Для любого натурального числа n сумма делится на 2n–1. Докажите это.
Задача № 1736928 класс9 класс10 класс4 / 5
Сумма n положительных чисел x1, x2, x3, ..., xn равна 1. Пусть S – наибольшее из чисел Найдите наименьшее возможное значение S. При каких значениях x1, x2, ..., xn оно достигается?
Задача № 1613509 класс10 класс11 класс4 / 5
Имеются 13 гирь. Известно, что любые 12 из них можно так разложить на две чашки весов, по шесть на каждую, что наступит равновесие. Докажите, что все гири имеют одну и ту же массу, если известно, что: а) масса каждой гири равна целому числу граммов; б) масса каждой гири равна рациональному числу граммов; в) масса каждой гири может быть равна любому действительному (неотрицательному) числу.
Задача № 1612629 класс10 класс11 класс4 / 5
Получите формулу для корня уравнения x³ + px + q = 0: x = + .