Задача № 216928
Решите уравнение: .
Олимпиадные задачи по теме «Алгебраические уравнения и системы уравнений» для 8 класса
Найдите задачу для урока, кружка или самостоятельной работы.
Задача № 216854
Шесть кружков последовательно соединили отрезками. На каждом отрезке записали некоторое число, а в каждом кружке – сумму двух чисел, записанных на входящих в него отрезках. После этого стёрли все числа на отрезках и в одном из кружков (см. рис.). Можно ли найти число, стёртое в кружке?
Задача № 216540
Про три положительных числа известно, что если выбрать одно из них и прибавить к нему сумму квадратов двух других, то получится одна и та же сумма, независимо от выбранного числа. Верно ли, что все числа равны?
Задача № 216451
Какие значения может принимать выражение (x – y)(y – z)(z – x), если известно, что ?
Задача № 215457
Коля и Вася за ноябрь получили по 15 оценок: тройки, четвёрки и пятёрки. При этом Коля получил пятёрок столько же, сколько Вася четвёрок, четвёрок столько же, сколько Вася троек, а троек столько же, сколько Вася пятёрок. Оказалось, что средний балл за ноябрь у мальчиков одинаковый. Сколько троек получил Коля в ноябре?
Задача № 210081
Пусть a, b, c, d, e и f – некоторые числа, причём ace ≠ 0. Известно, что значения выражений |ax + b| + |cx + d| и |ex + f | равны при всех значениях x. Докажите, что ad = bc.
Задача № 209665
Существуют ли 1998 различных натуральных чисел, произведение каждых двух из которых делится нацело на квадрат их разности?
Задача № 209592
Известно, что уравнение ax5 + bx4 + c = 0 имеет три различных корня. Докажите, что уравнение cx5 + bx + a = 0 также имеет три различных корня.
Задача № 209581
Уравнение x² + ax + b = 0 имеет два различных действительных корня. Докажите, что уравнение x4 + ax³ + (b – 2)x² – ax + 1 = 0 имеет четыре различных действительных корня.
Задача № 209538
Решите в положительных числах систему уравнений
Задача № 209038
Решить систему уравнений 1 − x1x2x3 = 0, 1 + x2x3x4 = 0, 1 − x3x4x5 = 0, 1 + x4x5x6 = 0, ... 1 − x47x48x49 = 0, 1 + x48x49x50 = 0, 1 − x49x50x1 = 0, 1 + x50x1x2 = 0.
Задача № 209027
Найти все действительные решения системы уравнений x² + y² + z² = 1, x³ + y³ + z³ = 1.
Задача № 209024
Решить систему уравнений: x1 + 12x2 = 15, x1 – 12x2 + 11x3 = 2, x1 – 11x3 + 10x4 = 2, x1 – 10x4 + 9x5 = 2, x1 – 9x5 + 8x6 = 2, x1 – 8x6 + 7x7 = 2, x1 – 7x7 + 6x8 = 2, x1 – 6x8 + 5x9 = 2, x1 – 5x9 + 4x10 = 2, x1 – 4x10 + 3x11 = 2, x1 – 3x11 + 2x12 = 2, x1 – 2x12 = 2.
Задача № 209011
Найти решение системы x4 + y4 = 17, x + y = 3.
Задача № 208979
Решить систему уравнений с n неизвестными
Задача № 207770
Рассматривается выпуклый четырёхугольник ABCD. Пары его противоположных сторон продолжены до пересечения: AB и CD – в точке P, CB и DA – в точке Q. Пусть lA, lB, lC и lD – биссектрисы внешних углов четырёхугольника при вершинах соответственно A, B, C, D. Пусть lP и lQ – внешние биссектрисы углов соответственно APD и AQB (то есть биссектрисы углов, дополняющих эти углы до развёрнутого). Обозначим через MAC точку пересечения lA и lC, через MBD – lB и lD, через MPQ – lP и lQ. Докажите, что, если все три точки MAC, MBD и MPQ существуют, то они лежат на одной прямой.
Задача № 207626
На базаре продаются рыбки, большие и маленькие. Сегодня три больших и одна маленькая стоят вместе столько же, сколько пять больших вчера. А две большие и одна маленькая сегодня стоят вместе столько же, сколько три больших и одна маленькая вчера. Можно ли по этим данным выяснить, что дороже: одна большая и две маленьких сегодня, или пять маленьких вчера?
Задача № 205213
Натуральное число n таково, что 3n + 1 и 10n + 1 являются квадратами натуральных чисел. Докажите, что число 29n + 11 – составное.
Задача № 205078
Решите уравнение (x + 1)63 + (x + 1)62(x – 1) + (x + 1)61(x – 1)² + ... + (x – 1)63 = 0.
Задача № 204051
Купец продаёт двух коней с сёдлами, причём цена одного седла 120 рублей, а другого – 25 рублей. Первый конь с хорошим седлом втрое дороже другого с дешёвым, а другой конь с хорошим седлом вдвое дешевле первого коня с дешёвым. Какова цена каждого коня?
Задача № 203854
Карлсон написал дробь 10/97. Малыш может: 1) прибавлять любое натуральное число к числителю и знаменателю одновременно, 2) умножать числитель и знаменатель на одно и то же натуральное число. Сможет ли Малыш с помощью этих действий получить дробь, а) равную ½? б) равную 1?
Задача № 202828
Решите систему уравнений: xy(x + y) = 30 x³ + y³ = 35.
Задача № 202825
Решите систему уравнений: 1/x + 1/y = 6, 1/y + 1/z = 4, 1/z + 1/x = 5.
Задача № 202797
Решить уравнение [x³] + [x²] + [x] = {x} − 1.
Задача № 198543
n красных и n синих точек, строго чередуясь, разделили окружность на 2n дуг так, что каждые две смежные из них имеют различную длину. При этом длины каждой из этих дуг равны одному из трёх чисел: a, b или c. Докажите, что n-угольник с красными вершинами и n-угольник с синими вершинами имеют равные периметры и равные площади.
1–25 из 101