Задача № 167513
Существует ли такое положительное число , что (Здесь — дробная часть числа , то есть разность между и ближайшим целым числом, не превосходящим .)
Олимпиадные задачи по теме «Алгебра и арифметика (прочее)» - сложность 1-4 с решениями
Найдите задачу для урока, кружка или самостоятельной работы.
Задача № 167509
Даны действительных чисел. Известно, что как ни разбей их на две группы по чисел, произведение чисел первой группы отличается от произведения чисел второй группы не более чем на . Верно ли, что как ни расставь эти числа по кругу, найдутся два соседних числа, различающихся не более чем на , если а) ; б) ?
Задача № 167447
По кругу стоят 50 чисел (необязательно целых). Известно, что произведение любых 25 чисел отличается от произведения 25 остальных не более чем на 2. Докажите, что какие-то два соседних числа отличаются не более чем на 2.
Задача № 167153
Для каждого из чисел 1, 19, 199, 1999 и т. д. изготовили одну отдельную карточку и записали на ней это число. а) Можно ли выбрать не менее трёх карточек так, чтобы сумма чисел на них равнялась числу, все цифры которого, кроме одной, – двойки? б) Пусть выбрали несколько карточек так, что сумма чисел на них равна числу, все цифры которого, кроме одной, – двойки. Какой может быть его цифра, отличная от двойки?
Задача № 166907
Существует ли такое натуральное , что для любых вещественных чисел и найдутся вещественные числа , удовлетворяющие равенствам
Задача № 166748
Каждый отрезок с концами в вершинах правильного 100-угольника покрасили – в красный цвет, если между его концами чётное число вершин, и в синий – в противном случае (в частности, все стороны 100-угольника красные). В вершинах расставили числа, сумма квадратов которых равна 1, а на отрезках – произведения чисел в концах. Затем из суммы чисел на красных отрезках вычли сумму чисел на синих. Какое наибольшее число могло получиться?
Задача № 166735
В ряд выписаны несколько натуральных чисел с суммой 20. Никакое число и никакая сумма нескольких подряд записанных чисел не равна 3. Могло ли быть выписано больше 10 чисел?
Задача № 166537
Каждый отрезок с концами в вершинах правильного 100-угольника покрасили – в красный цвет, если между его концами четное число вершин, и в синий – в противном случае (в частности, все стороны 100-угольника красные). В вершинах расставили числа, сумма квадратов которых равна 1, а на отрезках – произведения чисел в концах. Затем из суммы чисел на красных отрезках вычли сумму чисел на синих. Какое наибольшее число могло получиться?
Задача № 135688
Найдите значение выражения 1!*3-2!*4+3!*5-4!*6+...-2000!*2002+2001!.
Задача № 135403
Дано 100 положительных чисел, сумма которых равна S. Известно, что каждое из чисел меньше, чем S/99. Докажите, что сумма любых двух из этих чисел больше, чем S/99.
Задача № 135251
Существуют ли такие натуральные числа и , что и одновременно являются квадратами?
Задача № 135221
Можно ли из последовательности 1, 1/2, 1/3, ... выбрать (сохраняя порядок) сто чисел, из которых каждое, начиная с третьего, равно разности двух предыдущих?
Задача № 135218
Даны 10 различных положительных чисел. В каком порядке их нужно обозначить a1, a2, ... , a10, чтобы сумма a1+2a2+3a3+...+10a10была наибольшей?