Задача № 167018
У каждого из девяти натуральных чисел выписали первую слева цифру. Может ли при некотором натуральном среди девяти выписанных цифр быть не более четырёх различных?
Толпыго А. К.
70 задачЗадача № 167009
Имеется натуральное 1001-значное число . 1001-значное число – то же число , записанное от конца к началу (например, для четырёхзначных чисел это могли быть 7432 и 2347). Известно, что . При каком частное будет наименьшим (но строго больше 1)?
Задача № 166897
Как известно, квадратное уравнение имеет не более двух корней. А может ли уравнение при иметь более 100 корней? ( обозначает наибольшее целое число, не превосходящее .)
Задача № 166895
а) У Тани есть 4 одинаковые с виду гири, массы которых равны 1000, 1002, 1004 и 1005 г (неизвестно, где какая), и чашечные весы (показывающие, какая из двух чаш перевесила или что имеет место равенство). Может ли Таня за 4 взвешивания гарантированно определить, где какая гиря? (Следующее взвешивание выбирается по результатам прошедших.) б) Тот же вопрос, если у весов левая чашка на 1 г легче правой, так что весы показывают равенство, если масса на левой чашке на 1 г больше, чем на правой.
Задача № 166858
На плоскости даны две параболы: и . Пусть – множество всех точек плоскости, лежащих между параболами (включая точки на самих параболах). Существует ли отрезок длины более , целиком содержащийся в ?
Задача № 166344
Кусок сыра надо разрезать на части с соблюдением таких правил: вначале режем сыр на два куска, затем один из них режем на два куска, затем один из трёх кусков опять режем на два куска, и т.д.; после каждого разрезания части могут быть разными по весу, но отношение веса каждой части к весу любой другой должно быть строго больше заданного числа . а) Докажите, что при = 0,5 можно резать сыр так, что процесс никогда не остановится (после любого числа разрезаний можно будет отрезать ещё один кусок). б) Докажите, что если > 0,5, то процесс резки когда-нибудь ос...
Задача № 166202
Дано иррациональное число α, 0 < α < ½. По нему определяется новое число α1 как меньшее из двух чисел 2α и 1 – 2α. По этому числу аналогично определяется α2, и так далее. а) Докажите, что αn < 3/16 для некоторого n . б) Может ли случиться, что αn > 7/40 при всех натуральных n?
Задача № 166111
Взяли несколько положительных чисел и построили по ним такую последовательность: a1 – сумма исходных чисел, a2 – сумма квадратов исходных чисел, a3 – сумма кубов исходных чисел, и т.д. а) Могло ли случиться, что до a5 последовательность убывает (a1 > a2 > a3 > a4 > a5), а начиная с a5 – возрастает (a5 < a6 < a7 < ...)? б) А могло ли случиться наоборот: до a5 последовательность возрастает, а начиная с a5 – убывает?
Задача № 165857
На окружности сидят 12 кузнечиков в различных точках. Эти точки делят окружность на 12 дуг. Отметим 12 середин дуг. По сигналу кузнечики одновременно прыгают, каждый – в ближайшую по часовой стрелке отмеченную точку. Снова образуются 12 дуг, прыжки в середины дуг повторяются, и т. д. Может ли хотя бы один кузнечик вернуться в свою исходную точку после того, как им сделано a) 12 прыжков; б) 13 прыжков?
Задача № 165843
Известно, что число a положительно, а неравенство 10 < ax < 100 имеет ровно пять решений в натуральных числах. Сколько таких решений может иметь неравенство 100 < ax < 1000?
Задача № 165838
Известно, что число a положительно, а неравенство 1 < xa < 2 имеет ровно три решения в целых числах. Сколько решений в целых числах может иметь неравенство 2 < xa < 3 ?
Задача № 165818
Можно ли уместить два точных куба между соседними точными квадратами? Иными словами, имеет ли решение в целых числах неравенство: n² < a³ < b³ < (n + 1)²?
Задача № 165725
На длинной ленте бумаги выписали все числа от 1 до 1000000 включительно (в некотором произвольном порядке). Затем ленту разрезали на кусочки по две цифры в каждом кусочке. Докажите, что в каком бы порядке ни выписывались числа, на кусочках встретятся все двузначные числа.
Задача № 165582
Существует ли такой квадратный трёхчлен f(x), что для любого натурального n уравнение f(f(...f(x))) = 0 (n букв "f") имеет ровно 2n различных действительных корней?
Задача № 165574
Сумма нескольких положительных чисел равна 10, а сумма квадратов этих чисел больше 20. Докажите, что сумма кубов этих чисел больше 40.
Задача № 165550
Сколько существует разных способов разбить число 2004 на натуральные слагаемые, которые приблизительно равны? Слагаемых может быть одно или несколько. Числа называются приблизительно равными, если их разность не больше 1. Способы, отличающиеся только порядком слагаемых, считаются одинаковыми.
Задача № 165406
Периметр выпуклого четырёхугольника равен 2004, одна из диагоналей равна 1001. Может ли вторая диагональ быть равна а) 1; б) 2; в) 1001?
Задача № 165395
Играют двое. У первого 1000 чётных карточек (2, 4, ..., 2000), у второго – 1001 нечётная (1, 3, ... , 2001). Ходят по очереди, начинает первый. Ход состоит в следующем: игрок, чья очередь ходить, выкладывает одну из своих карточек, а другой, посмотрев на неё, выкладывает одну из своих карточек; тот, у кого число на карточке больше, записывает себе одно очко, а обе выложенные карточки выбрасываются. Всего получается 1000 ходов (одна карточка второго не используется). Какое наибольшее число очков может гарантировать себе каждый из игроков (как бы ни играл его соперник)?
Задача № 164589
Найдите все возрастающие арифметические прогрессии с конечным числом членов, сумма которых равна 1, а каждый член имеет вид 1/k, где k натуральное.
Задача № 164510
Пусть a^b обозначает число ab. В выражении 7^7^7^7^7^7^7 надо расставить скобки, чтобы определить порядок действий (всего будет 5 пар скобок). Можно ли расставить эти скобки двумя разными способами так, чтобы получилось одно и то же число?
Задача № 155590
С помощью циркуля и линейки постройте треугольник, если дана одна его вершина и три прямых, на которых лежат его биссектрисы.
Задача № 130308
По кругу расставлено девять чисел – четыре единицы и пять нулей. Каждую секунду над числами проделывают следующую операцию: между соседними числами ставят ноль, если они различны, и единицу, если они равны; после этого старые числа стирают. Могут ли через некоторое время все числа стать одинаковыми?