Внутри треугольника расположены окружности , , , одинакового радиуса, причём каждая из окружностей , , касается двух сторон треугольника и окружности . Докажите, что центр окружности принадлежит прямой, проходящей через центры вписанной и описанной окружностей данного треугольника.
Внутри остроугольного треугольника ABC дана точка P, причём APB = ACB + 60o, BPC = BAC + 60o, CPA = CBA + 60o. Докажите, что точки пересечения продолжений отрезков AP, BP и CP (за точку P) с описанной окружностью треугольника ABC лежат в вершинах равностороннего треугольника.
Три отрезка с концами на сторонах треугольника, параллельные его сторонам, проходят через одну точку и имеют одинаковую длину x. Найдите x, если стороны треугольника равны a, b, c.