Высоты AA' и CC' остроугольного треугольника ABC пересекаются в точке H. Точка B0 – середина стороны AC. Докажите, что точка пересечения прямых, симметричных BB0 и HB0 относительно биссектрис углов B и AHC соответственно, лежит на прямой A'C'.
В кубке Водоканала по футболу участвовали команды "Помпа", "Фильтр", "Насос" и "Шлюз". Каждая команда сыграла с каждой из остальных по одному разу (за победу давалось 3 очка, за ничью – 1, за проигрыш – 0). Команда "Помпа" набрала больше всех очков, команда "Шлюз" – меньше всех. Могло ли оказаться так, что "Помпа" обогнала "Шлюз" всего на 2 очка?
Прямая, проходящая через центр описанной окружности и точку пересечения высот неравностороннего треугольника ABC, делит его периметр и площадь в одном и том же отношении. Найдите это отношение.
Две равные окружности пересекаются в точках A и B . P – отличная от A и B точка одной из окружностей, X , Y – вторые точки пересечения прямых PA , PB с другой окружностью. Докажите, что прямая, проходящая через P и перпендикулярная AB , делит одну из дуг XY пополам.
На доске был нарисован четырехугольник, в который можно вписать и около которого можно описать окружность. В нем отметили центры этих окружностей и точку пересечения прямых, соединяющих середины противоположных сторон, после чего сам четырехугольник стерли. Восстановите его с помощью циркуля и линейки.
Прямые, содержащие медианы треугольника ABC, вторично пересекают его описанную окружность в точках A1, B1, C1. Прямые, проходящие через A, B, C и параллельные противоположным сторонам, пересекают ее же в точках A2, B2, C2. Докажите, что прямые A1A2, B1B2, C1C2 пересекаются в одной точке.
Проекции точки X на стороны четырёхугольника ABCD лежат на одной окружности. Y – точка, симметричная X относительно центра этой окружности. Докажите, что проекции точки B на прямые AX, XC, CY, YA также лежат на одной окружности.
Куб с ребром2n+1разрезают на кубики с ребром 1 и бруски размера2x 2x 1. Какое наименьшее количество единичных кубиков может при этом получиться?
Постройте треугольник, если даны центр вписанной в него окружности, середина одной из сторон и основание опущенной на эту сторону высоты.
В шестиугольнике ABCDEF AB = BC, CD = DE, EF = FA и ∠A = ∠C = ∠E. Докажите, что главные диагонали шестиугольника пересекаются в одной точке.
Найдите геометрическое место точек пересечения высот треугольников, у которых даны середина одной стороны и основания высот, опущенных на две другие.
Каждое ребро выпуклого многогранника параллельно перенесли на некоторый вектор так, что ребра образовали каркас нового выпуклого многогранника. Обязательно ли он равен исходному?
Четырехугольник ABCD вписан в окружность с центром O . Точки C' , D' симметричны ортоцентрам треугольников ABD и ABC относительно O . Докажите, что если прямые BD и BD' симметричны относительно биссектрисы угла B , то прямые AC и AC' симметричны относительно биссектрисы угла A .
Даны две окружности, пересекающиеся в точках P и Q . C – произвольная точка одной из окружностей, отличная от P и Q ; A , B – вторые точки пересечения прямых CP , CQ с другой окружностью. Найдите геометрическое место центров окружностей, описанных около треугольников ABC .
Дан тетраэдрABCD. Вписанная в него сфера σ касается граниABCв точкеT. Сфера σ' касается граниABCв точкеT'и продолжений гранейABD, BCD, CAD. Докажите, что прямыеATиAT'симметричны относительно биссектрисы углаBAC.
Стороны треугольника ABC видны из точки T под углами 120°. Докажите, что прямые, симметричные прямым AT, BT и CT относительно прямых BC, CA и AB соответственно, пересекаются в одной точке.
В однокруговом футбольном турнире играли  n > 4 команд. За победу давалось 3 очка, за ничью 1, за проигрыш 0. Оказалось, что все команды набрали поровну очков. а) Докажите, что найдутся четыре команды, имеющие поровну побед, поровну ничьих и поровну поражений. б) При каком наименьшем n могут не найтись пять таких команд?
Номер нынешней олимпиады (70) образован последними цифрами года её проведения, записанными в обратном порядке. Сколько еще раз повторится такая ситуация в этом тысячелетии?
Треугольник ABC вписан в окружность с центром в O . X "– произвольная точка внутри треугольника ABC , такая, что XAB= XBC=ϕ , а P – такая точка, что PX OX , XOP=ϕ , причем углы XOP и XAB одинаково ориентированы. Докажите, что все такие точки P лежат на одной прямой.
Две окружности пересекаются в точках P и Q . Третья окружность с центром в точке P пересекает первую в точках A и B , а вторую – в точках C и D (см.рисунок). Докажите что углы AQD и BQC равны.
Четырёхугольник ABCD с попарно непараллельными сторонами описан около окружности с центром O. Докажите, что точка O совпадает с точкой пересечения средних линий четырёхугольника ABCD тогда и только тогда, когда OA·OC = OB·OD.
На сторонах AB , BC и AC треугольника ABC взяты точки C' , A' и B' соответственно. Докажите, что площадь треугольника A'B'C' равна , где R – радиус описанной окружности треугольника ABC .
Диагонали параллелограмма ABCD пересекаются в точке O. Описанная окружность треугольника AOB касается прямой BC. Докажите, что описанная окружность треугольника BOC касается прямой CD.
В неравнобедреном треугольнике ABC точка I – центр вписанной окружности, I' – центр окружности, касающейся стороны AB и продолжений сторон CB и CA; L и L' – точки, в которых сторона AB касается этих окружностей. Докажите, что прямые IL', I'L и высота CH треугольника ABC пересекаются в одной точке.
Дан вписанный четырёхугольник ABCD. Точки P и Q симметричны точке C относительно прямых AB и AD соответственно. Докажите, что прямая PQ проходит через ортоцентр H треугольника ABD.
Дана окружность с диаметром AB. Другая окружность с центром в точке A пересекает отрезок AB в точке C, причём AC < ½ AB. Общая касательная двух окружностей касается первой окружности в точке D. Докажите, что прямая CD перпендикулярна AB.
Радиус описанной окружности треугольника ABC равен радиусу окружности, касающейся стороны AB в точке C' и продолжений двух других сторон в точках A' и B' . Докажите, что центр описанной окружности треугольника ABC совпадает с ортоцентром (точкой пересечения высот) треугольника A'B'C' .
Пусть M – точка пересечения медиан треугольника ABC . На перпендикулярах, опущенных из M на стороны BC , AC и AB , взяты точки A1, B1и C1соответственно, причём A1B1 MC и A1C1 MB . Докажите, что точка M является точкой пересечения медиан и в треугольнике A1B1C1.
Окружность Ω1 проходит через центр окружности Ω2. Из точки C, лежащей на Ω1, проведены касательные к Ω2, вторично пересекающие Ω1 в точках A и B. Докажите, что отрезок AB перпендикулярен линии центров окружностей.
Хорды AC и BD окружности с центром O пересекаются в точке K. Пусть M и N – центры описанных окружностей треугольников AKB и CKD соответственно. Докажите, что OM = KN.
У выпуклого многогранника внутренний двугранный угол при каждом ребре острый. Сколько может быть граней у многогранника?
По рёбрам выпуклого многогранника с 2003 вершинами проведена замкнутая ломаная, проходящая через каждую вершину ровно один раз. Докажите, что в каждой из частей, на которые эта ломаная делит поверхность многогранника, количество граней с нечётным числом сторон нечётно.
Тангенсы углов треугольника – целые числа. Чему они могут быть равны?
Внутри угла с вершиной M отмечена точка A. Из этой точки выпустили шар, который отразился от одной стороны угла в точке B, затем от другой стороны в точке C и вернулся в A ("угол падения" равен "углу отражения", см. рис.). Докажите, что центр O описанной окружности треугольника BCM лежит на прямой AM. (Шар считайте точкой.)
Внутри вписанного четырёхугольника ABCD существует точка K, расстояния от которой до сторон ABCD пропорциональны этим сторонам. Доказать, что K – точка пересечения диагоналей ABCD.
Точки A1, B1, C1 – середины сторон правильного треугольника ABC. Три параллельные прямые, проходящие через A1, B1, C1, пересекают, соответственно, прямые B1C1, C1A1, A1B1 в точках A2, B2, C2. Доказать, что прямые AA2, BB2, CC2 пересекаются в одной точке, лежащей на описанной окружности треугольника ABC.
Пусть H – ортоцентр треугольника ABC, X – произвольная точка. Окружность с диаметром XH вторично пересекает прямые AH, BH, CH в точках A1, B1, C1, а прямые AX, BX, CX в точках A2, B2, C2. Доказать, что прямые A1A2, B1B2, C1C2 пересекаются в одной точке.
Две окружности радиуса 1 пересекаются в точках X, Y, расстояние между которыми также равно 1. Из точки C одной окружности проведены касательные CA, CB к другой. Прямая CB вторично пересекает первую окружность в точке A'. Найти расстояние AA'.
В окружности с центром O проведены две параллельные хорды AB и CD. Окружности с диаметрами AB и CD пересекаются в точке P. Доказать, что середина отрезка OP равноудалена от прямых AB и CD.
Четырёхугольник ABCD вписан в окружность, центр O которой лежит внутри него. Доказать, что, если ∠BAO = ∠DAC, то диагонали четырёхугольника перпендикулярны.
Трапеция с основаниями AD и BC описана вокруг окружности, E – точка пересечения её диагоналей. Докажите, что угол AED не может быть острым.
Несколько прямых, никакие две из которых не параллельны, разрезают плоскость на части. Внутри одной из этих частей отметили точку A. Докажите, что точка, лежащая с A по разные стороны от всех данных прямых, существует тогда и только тогда, когда часть, содержащая A, неограничена.
Можно ли разрезать какой-нибудь треугольник на четыре выпуклые фигуры: треугольник, четырёхугольник, пятиугольник и шестиугольник?
Четырёхугольник ABCD вписан в окружность с центром O. Описанные окружности треугольников ABO и CDO, пересеклись второй раз в точке F. Докажите, что описанная окружность треугольника AFD проходит через точку E пересечения отрезков AC и BD.
Около правильного тетраэдра ABCD описана сфера. На его гранях как на основаниях построены во внешнюю сторону правильные пирамиды ABCD', ABDC', ACDB', BCDA', вершины которых лежат на этой сфере. Найдите угол между плоскостями ABC' и ACD'.
Существует ли плоский четырехугольник, у которого тангенсы всех внутренних углов равны?
Дан остроугольный треугольникABCи точкаP, не совпадающая с точкой пересечения его высот. Докажите, что окружности, проходящие через середины сторон треугольниковPAB,PAC,PBCиABC, а также окружность, проходящая через проекции точкиPна стороны треугольникаABC, пересекаются в одной точке.
Высоты AA' и BB' треугольника ABC пересекаются в точке H. Точки X и Y – середины отрезков AB и CH соответственно. Доказать, что прямые XY и A'B' перпендикулярны.