Задача № 2099308 класс9 класс10 класс3 / 5
На предприятии трудятся 50000 человек. Для каждого из них сумма количества его непосредственных начальников и его непосредственных подчинённых равна 7. В понедельник каждый работник предприятия издаёт приказ и выдаёт копию этого приказа каждому своему непосредственному подчинённому (если такие есть). Далее, каждый день работник берёт все полученные им в предыдущий день приказы и либо раздаёт их копии всем своим непосредственным подчинённым, либо, если таковых у него нет, выполняет приказы сам. Оказалось, что в пятницу никакие бумаги по учреждению не передаются. Докажите, что на предприятии не...
Задача № 2096729 класс10 класс11 класс4 / 5
С числом разрешается проводить одно из двух действий: возводить
в квадрат или прибавлять единицу. Даны числа19и98. Можно
ли из них за одно и то же количество действий получить равные числа?
Задача № 2096538 класс9 класс10 класс11 класс3 / 5
Пусть P(x) – квадратный трёхчлен с неотрицательными
коэффициентами.
Докажите, что для любых действительных чисел x и y
справедливо неравенство (P(xy))² ≤ P(x²)P(y²).
Задача № 2096219 класс10 класс11 класс4 / 5
Существует ли такое конечное множество M ненулевых действительных чисел, что для любого натурального n найдется многочлен степени не меньше n с коэффициентами из множества M, все корни которого
действительны и также принадлежат M?
Задача № 2095368 класс9 класс10 класс11 класс3 / 5
В стране 1993 города, и из каждого выходит не менее 93 дорог. Известно, что из каждого города можно проехать по дорогам в любой другой.
Докажите, что это можно сделать не более, чем с 62 пересадками. (Дорога соединяет между собой два города.)
Задача № 2082318 класс9 класс3 / 5
На стороне AC остроугольного треугольника ABC выбрана точка D. Медиана AM пересекает высоту CH и отрезок BD в точках N и K соответственно.
Докажите, что если AK = BK, то AN = 2KM.