Олимпиадная задача по стереометрии: принцип крайнего, 10-11 класс, Богданов И.И., Карасев Р.
Внутри выпуклого многогранника выбрана точка P и несколько прямых l1, ..., ln, проходящих через P и не лежащих в одной плоскости. Каждой грани многогранника поставим в соответствие ту из прямых l1, ..., ln, которая образует наибольший угол с плоскостью этой грани (если таких прямых несколько, выберем любую из них). Докажите, что найдётся грань, которая пересекается с соответствующей ей прямой.
Разобрать решение
Рассмотрим точки пересечения A1, A2, ... плоскостей граней с соответствующими им прямыми. Выберем среди всех отрезков PAi наименьший (если таких несколько – рассмотрим любой из них). Обозначим этот отрезок через PA. Предположим, что точка A не принадлежит своей грани. Тогда прямая PA пересекает какую-то другую грань в её внутренней точке C. Рассмотрим соответствующую прямую PB для этой грани (см. рис.).
Поскольку β ≥ γ, то PC ≥ PB. С другой стороны, PA > PC. Тогда PA > PB, что противоречит выбору отрезкаPA.
Обсуждение
0Комментариев пока нет.