Олимпиадная задача про переклейку этикеток на камнях: задача для 9-10 классов
Имеются 100 камней разного веса (одинаковых нет), к каждому приклеена этикетка с указанием его веса. Хулиган Гриша хочет переклеить этикетки так, чтобы общий вес любого набора с числом камней от 1 до 99 отличался от суммы весов, указанных на этикетках из этого набора. Всегда ли он может это сделать?
Показать ответ
Всегда.
Разобрать решение
Упорядочим камни по возрастанию весов. Затем переклеим этикетки "по кругу" на 1-й камень – этикетку с 2-го, на 2-й – с 3-го, ..., на 100-й – с 1-го. Теперь на каждом камне, кроме первого, указан больший вес. Если в набор А камней 1-й камень не входит, то сумма весов, указанных на его этикетках, больше веса набора А. Если же 1-й камень в набор А входит, то сумма весов на его этикетках меньше веса набора А, поскольку вес дополнительного набора B (составленного из всех камней, не входящих в А) больше суммы весов на этикетках из B.
Обсуждение
0Комментариев пока нет.