Олимпиадная задача по стереометрии: развёртка многогранника в треугольник (10–11 класс)
Известно, что всякую треугольную пирамиду, противоположные рёбра которой попарно равны, можно так разрезать вдоль трёх её рёбер и развернуть, чтобы её развёрткой стал треугольник без внутренних разрезов (см. рис.).
Найдётся ли еще какой-нибудь выпуклый многогранник, который можно так разрезать вдоль нескольких его рёбер и развернуть, чтобы его развёрткой стал треугольник без внутренних разрезов?
Показать ответ
Найдётся.
Разобрать решение
Подходящие выпуклые многогранники можно свернуть, например, из треугольника ABC со сторонами AB = AC = 3 и BC = 2. Разделим стороны на отрезки длины 1: BM = MK = KA = CN = NL = LA = BP = PC = 1 (рис. слева).
Если провести сгибы вдоль линий KL и MN, совместив при этом точки A и P в некоторой точке S, расположенной в пространстве (это можно сделать, так как высота AP треугольника ABC перпендикулярна отрезкам KL и MN и делится ими на три равные части), а затем – сгибы вдоль линий MP и NP, совместив при этом точки B и K, C и L, то при этом образуется четырёхугольная пирамида SKLNM, удовлетворяющая условию задачи (рис. справа). Если же провести сгибы вдоль линий MC и KC, совместив при этом точки B и L в некоторой точке S, расположенной в пространстве (это можно сделать, так как сумма любых двух из трёх углов BCM, MCK и KCL всегда больше третьего из них, а BC = LC), а затем – сгиб вдоль линии KL, совместив при этом точки A и M, то образуется треугольная пирамида SKMC, противоположные рёбра которой попарно различны (рис. снизу).
Обсуждение
0Комментариев пока нет.