Олимпиадная задача по алгебраическим уравнениям для 9-10 классов от Богданова И. И.

Решение 1:   Заметим, что все корни наших уравнений – ненулевые, поскольку свободные члены не равны нулю.

  Пусть p – общий корень первых двух уравнений. Тогда

0 = b(ap¹¹ + bp⁴ + c) – a(bp¹¹ + cp⁴ + a) = p⁴(b² – ac) – (a² – bc),   0 = b(bp¹¹ + cp⁴ + a) – c(ap¹¹ + bp⁴ + c) = p¹¹(b² – ac) – (c² – ab).

  Отсюда следует, что если одно из чисел  A = a² –bc,  B = b² –ac,  C = c² –ab  равно нулю, то и все три равны нулю. Но тогда ^a/_b = ^b/_c = ^c/_a,  а поскольку произведение этих чисел равно 1, то и все они равны 1, то есть  a = b = c.  В этом случае утверждение задачи очевидно.   В противном случае все три числаA, B, Cненулевые. Тогда  p⁴=^A/_B,  p¹¹=^C/_B.   Обозначим черезqобщий корень второго и третьего, а черезrобщий корень третьего и первого уравнений. Аналогично получим  q⁴=^B/_C,  откуда  p¹¹q⁴= 1.  Таким же образом получаем равенства  q¹¹r⁴= 1, r¹¹p⁴= 1.  Отсюда  p^11³=q^–4·11²=r^4²·11=p^–4³,  следовательно,  p= 1.  Аналогично q = r= 1.  Итак, 1 является общим корнем всех трёх уравнений.   Замечание.Решение можно завершить по-другому. Пусть |B| – среднее по величине из чисел |A|, |B|, |C|. Тогда одно из чисел  |p|⁴ = ^|A|/_|B|  и

|p|¹¹ = ^|C|/_|B|  не больше единицы, а другое – не меньше единицы. Значит, оба они равны единице, то есть  |p| = 1.  Следовательно,  |A| = |B| = |C|  и

|q| = |r| = |p| = 1.  Поэтому два из чисел p, q, r равны, скажем,  p = q.  Но тогда это число является общим корнем всех трёх уравнений.

Решение 2:   Достаточно доказать, что одно из данных уравнений имеет ровно один корень; тогда он будет общим у этого уравнения с каждым из остальных. Рассмотрим среди данных уравнений то, в котором коэффициенты при x⁴ и свободный член имеют одинаковый знак; пусть для определенности

b > 0,  c > 0  (случай  b < 0,  c < 0  сводится к этому домножением уравнения на –1). Запишем уравнение в виде  ax⁷ + b + cx^–4 = 0.  На положительной полуоси функция  f(x) = ax⁷ + b + cx^–4  положительна, а на отрицательной полуоси она строго возрастает. Следовательно она имеет не более одного корня.   Замечание. Единственность корня можно показать и с помощью производной.