Олимпиадная задача по стереометрии: точка O и сфера в параллелепипеде, 10–11 класс

Обозначим OCB =α , OCD=β , OCC'= γ . По условию задачи α+β+γ=180^o . Отложим на луче CO отрезок CE=1. Тогда проекции точки E на прямые CB , CD и CC' равны cos α , cos β и cos γ соответственно. По теореме о квадрате диагонали прямоугольного параллелепипеда cos2 α+ cos2 β+ cos2 γ=1, а т.к. γ = 180^o-α-β , то

cos2 α+ cos2 β+ cos2(180^o-α-β)=1, cos2 α+ cos2 β+ cos2(α+β)=1,

2 cos2 α+2 cos2 β+2 cos2(α+β)=2, 1+ cos 2α + 1+ cos 2β + 2 cos2(α+β)=2,

cos 2α + cos 2β +2 cos2(α+β)=0, 2 cos (α+β) cos (α -β)+2 cos2(α+β)=0,

cos (α+β)( cos (α-β)+ cos (α+β))=0, cos (α+β) cos α cos β=0, cos γ cos α cos β = 0.

Следовательно, либо γ = 90^o , либо β = 90^o , либо cos α=90^o . Если β = 90^o , то точка O лежит в плоскости BB'C , что невозможно, т.к. сфера с центром O не имеет общих точек с этой плоскостью. Если α = 90^o , то точка O лежит в плоскости CC'D , что также невозможно, т.к. сфера с центром O касается этой плоскости. Значит, γ = 90^o , поэтому точка O лежит в плоскости ABCD , а значит, — на прямой AC пересечения плоскостей AA'C'C и ABCD . По условию задачи точка O лежит в сечении AA'C'C , значит, она расположена на отрезке AC . Сфера с центром O , лежащим в плоскости ABC , касается плоскостей A'B'C'D' и CC'D , поэтому её радиус равен длине ребра CC' и меньше длины ребра AB , а т.к. сфера не имеет общих точек с гранью BB'C , то её радиус r меньше длины ребра AB . Следовательно, CC' — наименьшее ребро параллелепипеда, т.е. r=CC'=2. Расстояние от центра сферы до плоскости BB'C равно расстоянию то точки O , лежащей на диагонали AC прямоугольника ABCD , до стороны BC , поэтому CD>BC . Значит, CD = 6и BC=3. Пусть H — проекция точки O на сторону CD . Тогда искомое расстояние равно длине отрезка CH . Из подобия прямоугольных треугольников COH и CAD находим, что

CH=CD· = 6· =4.