Олимпиадная задача про последовательности: арифметика и геометрия, 9-10 класс
Дана такая возрастающая бесконечная последовательность натуральных чиселa1, ...,an, ..., что каждый её член является либо средним арифметическим, либо средним геометрическим двух соседних. Обязательно ли с некоторого момента эта последовательность становится либо арифметической, либо геометрической прогрессией?
Показать ответ
Не обязательно.
Разобрать решение
Рассмотрим последовательность, где a2n–1 = n(n + 1), a2n = (n + 1)²: 2, 4, 6, 9, 12, 16, 20, 25… Каждый чётный член – среднее арифметическое, а каждый нечётный – среднее геометрическое своих соседей.
Осталось заметить, что, так как среднее арифметическое двух различных чисел не равно среднему геометрическому, то наша последовательность ни с какого места не становится ни арифметической, ни геометрической прогрессией.
Обсуждение
0Комментариев пока нет.