Олимпиадная задача на средние величины и принцип крайнего — задача по олимпиадной математике для 8, 9, 10 классов

Предположим, что выписать числа требуемым образом удалось. Пусть Δ – отрезок ленты между числами 0 и 1 (включая 0 и 1). Пусть M – максимальный модуль числа, попавшего в этот отрезок. Тогда каждое число x, большее M по модулю, расположено либо справа, либо слева от Δ. Пусть некоторое число  x > M  расположено по какую-то сторону от Δ, для определенности, справа. Среднее арифметическое чисел x и –x равно 0, значит, число –x также расположено справа от Δ. Среднее арифметическое чисел –x и  x + 2  равно 1, значит,  x + 2  также расположено справа от Δ. Рассуждая так и далее, получаем, что числа x,  x + 2,  x + 4  и все последующие числа той же чётности расположены справа от Δ. Теперь среди всех чисел, больших M и расположенных справа от Δ, выберем число a, находящееся левее всех остальных. Числа  a + 2,  a + 4,  a + 6  находятся справа от Δ и, следовательно, правее a. Число  a + 4  выписано не правее  a + 2,  так как  a + 2 – среднее арифметическое a и  a + 4.  Итак,  a + 4  расположено между  a и  a + 2.  Аналогично число  a + 8  расположено между a и  a + 4,  a + 16 расположено между a и  a + 8  и т.д. Таким образом, между a и  a + 2  должно разместиться бесконечное множество чисел  a + 4,  a + 8,  ...,  a + 2ⁿ,  ... .  Противоречие.