Олимпиадная задача по планиметрии: найди катеты треугольника по радиусам окружностей
Задача
Найдите катеты прямоугольного треугольника, если
известно, что радиус описанной около треугольника
окружности равен R , а радиус вписанной в него
окружности равен r . При каком отношении 
задача имеет решение?
Решение
Пусть окружность с центром O , вписанная в прямоугольный треугольник ABC с прямым углом C , касается гипотенузы AB=2R в точке K , а катетов AC и BC – в точках M и L соответственно. Обозначим AC=x .
Четырёхугольник OMCL – квадрат, поэтому
CM = OL = r, AK=AM = AC-CM = x-r,
BL=BK=AB-AK =2R-(x-r) = 2R+r-x,
BC = BL+CL = 2R+r-x+r = 2(R+r)-x.
x2-2x(R+r) + 4Rr+2r2
x= r+R 
.
и BC=r+R - , либо AC=r+R - и BC=r+R + .
Задача имеет решение, если R2-2rR-r2 
0, или()2 - 2· - 1 0,
откуда 1+
.
Ответ
r+R , 1+ .
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь
Комментариев нет