Олимпиадная задача по планиметрии для 8–9 класса: квадрат в треугольнике
Задача
Основание треугольника равно a, а высота, опущенная на основание, равна h. В треугольник вписан квадрат, одна из сторон которого лежит на основании треугольника, а две вершины на боковых сторонах. Найдите отношение площади квадрата к площади треугольника.
Решение
Пусть вершины K и L квадрата KLMN со стороной x лежат на стороне BC = a треугольника ABC, вершины M и N – на сторонах AC и AB соответственно, Q – точка пересечения высоты AP = h треугольника со стороной MN квадрата. Тогда AQ = AP – PQ = AP – ML = h – x. Треугольник AMN подобен треугольнику ABC с коэффициентом AQ/AP = h–x/h, поэтому MN = BC·AQ/AP, или x = a·h–x/h, откуда x = ah/a+h. Следовательно, SKLMN/SABC = 2x²/ah = 2ah/(a+h)².
Ответ
2ah/(a+h)².
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь